$\delta$ di Dirac
Ciao, amici! Studiando fisica elementare, in particolare meccanica e teoria dell'elettromagnetismo, trovo spuntare spesso, in dimostrazioni cercate on line di fatti che il mio testo enuncia soltanto, la $\delta$ di Dirac, come vedo fare ad esempio dall'Elettrodinamica classica del Jackson, libro che mi fa oltretutto molto gola.
Della $\delta$ conosco solo qualche piccola cosettina per il caso monodimensionale, essenzialmente solo che se $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione di classe $C^{\infty}$ a supporto compatto, si scrive \[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)f(x)dx=f(a)\] il funzionale (distribuzione) $T$ tale che \(T(f)=f(a)\). Infatti di analisi funzionale ho studiato solo il Kolmogorov-Fomin, capendoci (che per me significa conoscere e comprendere una dimostrazione di tutto ciò che viene enunciato) oltretutto non molto, dato che, piuttosto che dimostrare molte cose che enuncia, le lascia al lettore, ché intanto sono di facile dimostrazione, ovviamente senza tenere conto di lettori poco dotati come me.
Nelle dimostrazioni fisiche vedo invece usare $\delta$ anche
1) dove fino al momento prima credevo che l'integrale fosse di Riemann, ché invece $\int_{-\infty}^{\infty}\delta $ non rappresenta affatto un integrale di Riemann, ma una scrittura puramente simbolica,
2) sotto integrali su domini bi- e tridimensionali, mentre io conosco solo il caso in cui la funzione $f$, argomento del funzionale, è definita su $\mathbb{R}$,
3) applicando, prima che compaia la $\delta$, proprietà, come quelle di rotori, divergenze e gradienti, derivazioni sotto il segno di integrale e quant'altro, che io so solo essere valide sotto opportune ipotesi e per veri integrali, non per scritture simboliche come l'integrale che precede la $\delta$ che conosco io...
Per questi motivi sto cercando bibliografia, come una dispensa o un libro, del tipo che non lascia al lettore le dimostrazioni, che mi chiarisca queste cose e fornisca gli strumenti per comprendere l'utilizzo della $\delta$ in fisica.
$\int_{-\infty}^{\infty}$ grazie $dx$ per ogni consiglio!
Della $\delta$ conosco solo qualche piccola cosettina per il caso monodimensionale, essenzialmente solo che se $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione di classe $C^{\infty}$ a supporto compatto, si scrive \[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)f(x)dx=f(a)\] il funzionale (distribuzione) $T$ tale che \(T(f)=f(a)\). Infatti di analisi funzionale ho studiato solo il Kolmogorov-Fomin, capendoci (che per me significa conoscere e comprendere una dimostrazione di tutto ciò che viene enunciato) oltretutto non molto, dato che, piuttosto che dimostrare molte cose che enuncia, le lascia al lettore, ché intanto sono di facile dimostrazione, ovviamente senza tenere conto di lettori poco dotati come me.
Nelle dimostrazioni fisiche vedo invece usare $\delta$ anche
1) dove fino al momento prima credevo che l'integrale fosse di Riemann, ché invece $\int_{-\infty}^{\infty}\delta $ non rappresenta affatto un integrale di Riemann, ma una scrittura puramente simbolica,
2) sotto integrali su domini bi- e tridimensionali, mentre io conosco solo il caso in cui la funzione $f$, argomento del funzionale, è definita su $\mathbb{R}$,
3) applicando, prima che compaia la $\delta$, proprietà, come quelle di rotori, divergenze e gradienti, derivazioni sotto il segno di integrale e quant'altro, che io so solo essere valide sotto opportune ipotesi e per veri integrali, non per scritture simboliche come l'integrale che precede la $\delta$ che conosco io...
Per questi motivi sto cercando bibliografia, come una dispensa o un libro, del tipo che non lascia al lettore le dimostrazioni, che mi chiarisca queste cose e fornisca gli strumenti per comprendere l'utilizzo della $\delta$ in fisica.
$\int_{-\infty}^{\infty}$ grazie $dx$ per ogni consiglio!
Risposte
Ciao! Prendi con le pinze la mia risposta perchè non sono un matematico, ma anche io come te ho avuto diversi problemi ad interpretare certe cose, soprattutto in fisica (poi dicono degli ingegneri! 
). Della fisica non sono un gran esperto quindi cerco di illuminarti su quello che so...
Come dici tu la delta di Dirac è un funzionale lineare e quindi NON una funzione, definita ad esempio sullo spazio di Schwartz. L'idea è quella di "generalizzare" il concetto di funzione..infatti tutte le funzioni $L^1$ e $L^2$ ad esempio sono distribuzioni. Peraltro tutte definite con $T(\phi)=\int f(x)\phi(x)dx$ (questo è ben definito nel caso di funzioni $L^1$ e $L^2$, mentre rappresenta un simbolo nel caso in cui si utilizzi la delta)
Se hai letto il Kolmogorov-Fomin dovresti sapere che esiste il concetto di derivata debole, che altro non è che una definizione. Si scopre però che se una funzione è derivabile "in senso classico" e questa è una distribuzione, le derivate coincidono....quindi la derivata debole è difatti una estensione della derivata classica.
Le equazioni della fisica provengono in gran parte da equazioni differenziali, che spesso hanno problemi a essere risolte tramite gli strumenti standard dell'analisi, soprattutto nel caso in cui la soluzione sia qualcosa di "impulsivo". Se ci pensi rotori, divergenze e gradienti sono operatori differenziali
Se ti interessa l'argomento credo tu possa approfondire su libri di fisica teorica. Ho sentito molto parlare del Landau, ma non l'ho mai letto ne aperto quindi non so dirti proprio nulla su questo...
). Della fisica non sono un gran esperto quindi cerco di illuminarti su quello che so...Come dici tu la delta di Dirac è un funzionale lineare e quindi NON una funzione, definita ad esempio sullo spazio di Schwartz. L'idea è quella di "generalizzare" il concetto di funzione..infatti tutte le funzioni $L^1$ e $L^2$ ad esempio sono distribuzioni. Peraltro tutte definite con $T(\phi)=\int f(x)\phi(x)dx$ (questo è ben definito nel caso di funzioni $L^1$ e $L^2$, mentre rappresenta un simbolo nel caso in cui si utilizzi la delta)
Se hai letto il Kolmogorov-Fomin dovresti sapere che esiste il concetto di derivata debole, che altro non è che una definizione. Si scopre però che se una funzione è derivabile "in senso classico" e questa è una distribuzione, le derivate coincidono....quindi la derivata debole è difatti una estensione della derivata classica.
Le equazioni della fisica provengono in gran parte da equazioni differenziali, che spesso hanno problemi a essere risolte tramite gli strumenti standard dell'analisi, soprattutto nel caso in cui la soluzione sia qualcosa di "impulsivo". Se ci pensi rotori, divergenze e gradienti sono operatori differenziali
Se ti interessa l'argomento credo tu possa approfondire su libri di fisica teorica. Ho sentito molto parlare del Landau, ma non l'ho mai letto ne aperto quindi non so dirti proprio nulla su questo...
In realtà non c'è molto altro da aggiungere: i libri di fisica, come quello di Dirac che ha introdotto questa notazione, trattano la \(\delta\) come una funzione senza preoccuparsi dei dettagli matematici. In effetti se uno si preoccupa troppo dei dettagli questa notazione finisce col perdere la sua utilità.
Sul libro di analisi di Fourier di Bracewell c'è un intero capitolo dedicato alla "funzione \(\delta\)" con questa prospettiva.
Sul libro di analisi di Fourier di Bracewell c'è un intero capitolo dedicato alla "funzione \(\delta\)" con questa prospettiva.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo