Consigli per approfondimenti in matematica..
Ciao a tutti. Sono uno studente in cerca di approfondire la sua conoscenza della matematica, principalmente per curiosità. Mi trovo ad aver già dato esami di analisi 1, 2, e 3 e di algebra lineare, abbastanza di base, ma cercavo un libro di testo (o più libri di testo) che avesse un diverso modo di spiegare la matematica. Provo a spiegarmi: l'analisi che ho studiato era finalizzata sostanzialmente alla risoluzione di esercizi e quindi l'ordine con cui mi è stata presentata era basata su questo. Funzioni come seno coseno e esponenziale per esempio vengono presentate così come sono fin dal liceo ma soltanto facendo corsi ben più avanzati si possono comprendere le loro caratteristiche e cosa essi veramente siano (visti ad esempio come serie di potenze). Ora io mi chiedo e vi chiedo: esistono libri di testo che trattano gli argomenti seguendo un diverso ordine? Non sono tanto interessato ad argomenti nuovi (per ora) ma più all'approfondimento dal punto di vista teorico di quello che ho già fatto e ad un nuovo modo di vedere le cose che già so. Grazie anche a chi si prende semplicemente la briga di capire cosa voglio dire 
Risposte
Una funzione è una relazione che associa ad ogni punto del dominio uno e un solo punto del codominio. La definizione delle funzione trigonometriche nel modo del liceo non è meglio di quello che viene usato in alcuni corsi di analisi. L’uso delle serie di potenze ha inoltre vari difetti, seppur risulti pratico per definire quelle funzioni nel campo \(\mathbb{C}\).
Detto questo l’analisi che hai studiato finora è “roba vecchia”, tutto ciò che ti è utile sapere si limita alla topologia e all'algebra lineare (che vengono spesso fatte male e poco seriamente). Per vedere le cose di analisi seriamente ti suggerisco di arrivare a studiare l’analisi moderna.
P.S.: Adesso qualche patito di analisi mi fucila
.
Detto questo l’analisi che hai studiato finora è “roba vecchia”, tutto ciò che ti è utile sapere si limita alla topologia e all'algebra lineare (che vengono spesso fatte male e poco seriamente). Per vedere le cose di analisi seriamente ti suggerisco di arrivare a studiare l’analisi moderna.
P.S.: Adesso qualche patito di analisi mi fucila
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Magari è vecchia ma sono sicuro che ci siano argomenti che non sono stati approfonditi abbastanza per quanto riguarda me ovviamente! Riguardo all'argomento funzioni trigonometriche io ho sempre trovato "strano" il fatto di non poterle esprimere semplicemente tramite prodotti o somme come ero abituato e come mi sembrava intuitivo dovesse essere quindi per me scoprire questo non si è limitato allo scoprirne una nuova definizione, per quanti problemi essa possa dare. Poi come ho detto non sono (ancora) interessato ad argomenti nuovi ma quanto più a sapermi destreggiare con quelli che ho già visto, quanto meno a livello concettuale Non so se mi sono spiegato...
per quanto riguarda me ovviamente! Riguardo all'argomento funzioni trigonometriche io ho sempre trovato "strano" il fatto di non poterle esprimere semplicemente tramite prodotti o somme come ero abituato e come mi sembrava intuitivo dovesse essere quindi per me scoprire questo non si è limitato allo scoprirne una nuova definizione, per quanti problemi essa possa dare. Poi come ho detto non sono (ancora) interessato ad argomenti nuovi ma quanto più a sapermi destreggiare con quelli che ho già visto, quanto meno a livello concettuale Non so se mi sono spiegato...
Premesso che continuo a non vedere la necessità di dare una definizione alternativa di funzioni trigonometriche, e soprattutto di passarci troppo tempo sopra, su quale libro hai studiato?
Principalmente sulle dispense dei miei professori..o di professori di altre università.. comunque non ho la necessità di di altre definizioni era solo un esempio di quello che intendevo per vedere le cose da un punto di vista più ampio..un altro esempio potrebbe essere la derivata..nonostante la definizione data alle superiori sia corretta ho trovato interessante scoprire che la derivata di una funzione in R è un caso particolare del differenziale in R^n e che questo a sua volta sia una particolare forma differenziale..e sono sicuro che ci sia un motivo se gli argomenti vengono presenti in questo ordine ma mi chiedo se comunque non ci sia qualcuno che in qualche modo li presenta in maniera alternativa..anche se a quanto mi sembra di capire che la risposta è no
comunque non ho la necessità di di altre definizioni era solo un esempio di quello che intendevo per vedere le cose da un punto di vista più ampio..un altro esempio potrebbe essere la derivata..nonostante la definizione data alle superiori sia corretta ho trovato interessante scoprire che la derivata di una funzione in R è un caso particolare del differenziale in R^n e che questo a sua volta sia una particolare forma differenziale..e sono sicuro che ci sia un motivo se gli argomenti vengono presenti in questo ordine ma mi chiedo se comunque non ci sia qualcuno che in qualche modo li presenta in maniera alternativa..anche se a quanto mi sembra di capire che la risposta è no
Potresti provare allora a dare un occhiata a libri tipo il Rudin (per analisi).
Consiglio vivamente dei testi sensati di Analisi.
Ad esempio, il Pagani-Salsa in edizione pre-riforma o il Rudin, Principles of Mathematical Analysis.
Ad esempio, il Pagani-Salsa in edizione pre-riforma o il Rudin, Principles of Mathematical Analysis.
Grazie mille io proprio di testi ne conosco pochi quindi i consigli di chi ne sa di più sono sempre mooolto apprezzati
io proprio di testi ne conosco pochi quindi i consigli di chi ne sa di più sono sempre mooolto apprezzati
Consiglio anche, visto che se sei interessato alla costruzione delle funzioni trigonometriche, il Prodi, Analisi Matematica.
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