$(xy+yz+zx)[1/[(x+y)^2] + 1/[(y+z)^2] + 1/[(z+x)^2]]>=9/4

[son Goku1]

dimostrare che dati x,y,z>0 allora
$(xy+yz+zx)[1/[(x+y)^2] + 1/[(y+z)^2] + 1/[(z+x)^2]]>=9/4$

[_Tipper]

Mi puzza di disuguaglianza media aritmetica-media geometrica...

[Sk_Anonymous]

"GuillaumedeL'Hopital":dimostrare che dati x,y,z>0 allora
$(xy+yz+zx)[1/[(x+y)^2] + 1/[(y+z)^2] + 1/[(z+x)^2]]>=9/4$

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: LHS $\ge (\frac{\sqrt{xy}}{x + y} + \frac{\sqrt{yz}}{y + z} + \frac{\sqrt{zx}}{z + x})^2 \ge (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2})^2 = 9/4$, e l'uguaglianza sussiste sse $x = y = z$.

[_Tipper]

Scusate la mia ignoranza, ma se $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, allora $\frac{\sqrt{xy}}{x+y} \le \frac{1}{2}$, quindi tutta la disuguaglianza non dovrebbe avere segno opposto?

[_Tipper]

Cioè, quello che voglio dire è che secondo me dovrebbe essere così:

$\frac{\sqrt{xy}}{x + y} + \frac{\sqrt{yz}}{y + z} + \frac{\sqrt{zx}}{z + x} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

cioè

$(\frac{\sqrt{xy}}{x + y} + \frac{\sqrt{yz}}{y + z} + \frac{\sqrt{zx}}{z + x})^2 \le (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2})^2$

Dov'è che sbaglio?

[son Goku1]

"Tipper":Cioè, quello che voglio dire è che secondo me dovrebbe essere così:

$\frac{\sqrt{xy}}{x + y} + \frac{\sqrt{yz}}{y + z} + \frac{\sqrt{zx}}{z + x} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

cioè

$(\frac{\sqrt{xy}}{x + y} + \frac{\sqrt{yz}}{y + z} + \frac{\sqrt{zx}}{z + x})^2 \le (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2})^2$

Dov'è che sbaglio?

secondo me non sbagli ci dev'essere una falla nella dimostrazione di Hilbert

[Sk_Anonymous]

"Tipper":Scusate la mia ignoranza, ma se $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, allora $\frac{\sqrt{xy}}{x+y} \le \frac{1}{2}$, quindi tutta la disuguaglianza non dovrebbe avere segno opposto?

Non sbagli. Temo di essermi affrettato troppo.