$x^3+3y^3+9z^3-9xyz=0$

[TomSawyer1]

Provare che l'unica soluzione di $x^3+3y^3+9z^3-9xyz=0$ è $x=y=z=0$.

[Sk_Anonymous]

Ma x,y,z in quale campo stanno?
karl

[_luca.barletta]

Dalla disuguaglianza AM-GM possiamo scrivere
$x^3+3y^3+9z^3>=3*root{3}{27x^3y^3z^3}=9xyz$
cioè
$x^3+3y^3+9z^3>=9xyz$
l'uguaglianza si ottiene quando x=y=z, da cui x=y=z=0.

[Sk_Anonymous]

La soluzione x=y=z=0 e' l'unica soluzione intera
ma non l'unica in R.
Ad esempio:
$x=root[3]9,y=root[3]3,z=1$ soddisfa l'eguaglianza.
E' per questo che chiedevo il campo di appartenenza delle tre variabili.
Altrimenti di soluzioni non tutte nulle e non intere ve ne sono infinite.
In effetti nella soluzione di Barletta c'e' un refuso in quanto le variabili
effettive non sono x,y,z ma $x,yroot[3]3,zroot[3]9$
Pertanto deve essere:
$x=yroot[3]3=zroot[3]9 $ da cui $x=yroot[3]3,y=zroot[3]3$
Facendo z=0 si ha l'unica soluzione intera (0,0,0) ,come gia' detto.
Facendo z=1 si ha la soluzione da me proposta.
karl

[TomSawyer1]

Le intendevo nei razionali, ma dimenticato di scriverlo nella fretta.
Però, essendo che la disuguaglianza AM-GM vale anche per i reali, si dovrebbe trovare anche la soluzione di karl, col metodo di luca.barletta, no? Invece trova solo $x=y=z=0$.

Comunque, la mia soluzione è per assurdo, un po' più lunga di quella di luca.barletta.

[Sk_Anonymous]

Ricordo che AM-GM vale solo per reali non negativi.
Pertanto ,se non si precisa il campo d'azione,ogni
procedimento e' opinabile.
karl