X^2-7x+2 il quadrato misterioso
trovare per quali valori interi di x l'espressione è un quadrato.riportare il procedimento
Risposte
Qualche idea tua? Io (a occhio, non so se è il procedimento migliore) studierei $x^2 -7x +2 = (x +k)^2$ riconducendomi a un problema di divisibilità...
Direi che il valore di $x$ è uno solo ed è facile trovarlo, ma il procedimento.......?
"al_berto":
Direi che il valore di $x$ è uno solo ed è facile trovarlo, ma il procedimento.......?
Qual'è il valore che hai trovato, e in base a cosa dici che è uno solo?
ricorda che interi vuol dire $ZZ$, ci sono anche i negativi.
io sono abbastanza sicuro di aver dato una dimostrazione corretta che sono due e solo due i valori di $x$ che soddisfano la richiesta, avendoli anche trovati, ovviamente.
"blackbishop13":
io sono abbastanza sicuro di aver dato una dimostrazione corretta che sono due e solo due i valori di $x$ che soddisfano la richiesta, avendoli anche trovati, ovviamente.
sono dìaccordo con blackbishop13 sui due valori (uno positivo e uno negativo).
Si tratta di vincolare un "delta" di un'equazione di secondo grado ad essere un quadrato perfetto (dimostrando contemporaneamente l'unicità della soluzione trovata), dopodiché si trovano le due soluzioni dell'equazione stessa.
uno è 7 è l'altro è 14 cosi dice il risulotato...da dove vengono fuori?
Ma fatemi capire ok per $14$ e $-14$, ma $ 7$? $2$ è un quadrato?
Calma ragazzi, un po' di chiarezza:
le soluzioni come detto sono due e solo due: una è $14$ e l'altra è $-7$.
$-14$ e $7$ non sono soluzioni, basta sostituire e si vede che non funzionano.
vi dò un accenno di dimostrazione:
$x^2-7x+2=c^2$ con $c in NN$ ha soluzione intera se e solo se $x^2-7x+2-c^2=0$
da cui $x=(7\pmsqrt(49-8+4c^2))/2=(7\pmsqrt(41+4c^2))/2$
$x$ può essere intera solo se $41+4c^2=n^2$ con $n in NN$, da cui si ha $n^2-4c^2=41$ , $n^2-(2c)^2=41$ , $(n+2c)(n-2c)=41$
e siccome $41$ è primo... il resto a chi vuole farlo.
le soluzioni come detto sono due e solo due: una è $14$ e l'altra è $-7$.
$-14$ e $7$ non sono soluzioni, basta sostituire e si vede che non funzionano.
vi dò un accenno di dimostrazione:
$x^2-7x+2=c^2$ con $c in NN$ ha soluzione intera se e solo se $x^2-7x+2-c^2=0$
da cui $x=(7\pmsqrt(49-8+4c^2))/2=(7\pmsqrt(41+4c^2))/2$
$x$ può essere intera solo se $41+4c^2=n^2$ con $n in NN$, da cui si ha $n^2-4c^2=41$ , $n^2-(2c)^2=41$ , $(n+2c)(n-2c)=41$
e siccome $41$ è primo... il resto a chi vuole farlo.
$ (-14)$ 
mi hanno confuso il $7$ e l'aranciata del Q.I.M.
mi hanno confuso il $7$ e l'aranciata del Q.I.M.
Al quesito si può rispondere, alternativamente, anche
in questo modo.
Per x = 7 abbiamo x²-7x+2 = 2 .
Per x < 7 è evidentemente x²-7x+2 < 0.
Per 14 > x > 7 troviamo che (x-6)² < x²-7x+2 < (x-4)²
ciò che porta a stabilire, per qualche valore di x, che
x²-7x+2 = (x-5)². Tuttavia si vede facilmente che questa
equazione è sprovvista di soluzioni intere.
Per x = 14 abbiamo x²-7x+2 = 100, quindi x = 14
è senz'altro una soluzione del problema.
Mentre per x > 14 troviamo (x-4)² < x²-7x+2 < (x-3)²
e questo esclude che ci possano essere altri valori di
x (oltre a 14) capaci di far diventare un quadrato perfetto
l'espressione proposta.
in questo modo.
Per x = 7 abbiamo x²-7x+2 = 2 .
Per x < 7 è evidentemente x²-7x+2 < 0.
Per 14 > x > 7 troviamo che (x-6)² < x²-7x+2 < (x-4)²
ciò che porta a stabilire, per qualche valore di x, che
x²-7x+2 = (x-5)². Tuttavia si vede facilmente che questa
equazione è sprovvista di soluzioni intere.
Per x = 14 abbiamo x²-7x+2 = 100, quindi x = 14
è senz'altro una soluzione del problema.
Mentre per x > 14 troviamo (x-4)² < x²-7x+2 < (x-3)²
e questo esclude che ci possano essere altri valori di
x (oltre a 14) capaci di far diventare un quadrato perfetto
l'espressione proposta.
Bruno ma hai considerato soltanto $x in NN$, mentre noi volevamo tutte le soluzioni con $x in ZZ$.
infatti non hai proprio considerato la soluzione $x=-7$.
inoltre il tuo metodo è interessante perchè richiede molta intuizione, ma non dà un metodo generico per trattare problemi di questo genere, basta cambiare numeri e tutto il ragionamento è inutile.
infatti non hai proprio considerato la soluzione $x=-7$.
inoltre il tuo metodo è interessante perchè richiede molta intuizione, ma non dà un metodo generico per trattare problemi di questo genere, basta cambiare numeri e tutto il ragionamento è inutile.
Ach... è vero, non avevo fatto caso al fatto che il problema non era ristretto ai soli
naturali.
Comunque sarebbe sufficiente, che so, ragionare su un'equazione come w²+7w+2 = z²,
e la cosa adesso sarebbe più facile avendo già ottenuto delle opportune limitazioni
per il caso trattato.
Il testo tuttavia non richiedeva procedimenti generali e non è detto che cambiando
i numeri il metodo diventi inutile. Ti dirò, anzi, che a me è capitato di applicarlo più
volte a quiz simili e mi sono perfino divertito
naturali.
Comunque sarebbe sufficiente, che so, ragionare su un'equazione come w²+7w+2 = z²,
e la cosa adesso sarebbe più facile avendo già ottenuto delle opportune limitazioni
per il caso trattato.
Il testo tuttavia non richiedeva procedimenti generali e non è detto che cambiando
i numeri il metodo diventi inutile. Ti dirò, anzi, che a me è capitato di applicarlo più
volte a quiz simili e mi sono perfino divertito
Diciamo che entrambi i modi sono abbastanza "diffusi": quello di BlackBishop è sicuramente il più usato ma capita (talvolta) che si areni in un circolo vizioso, quello di Bruno invece è usato di meno perchè, spesso ma non sempre, è decisamente più complicato e contoso... ma non è raro dimostrare che un numero non può essere un quadrato perfetto perchè compreso tra due quadrati perfetti successivi, anzi
Devono esistere $(x,y)\in\mathbb{Z}^2$ tali che $x^2-7x+2=y^2$ che è equivalente a $(2x+2y-7)(2x-2y-7)=41$. Possiamo supporre wlog che $y\ge 0$ cosicchè $2x+2y-7\ge 2x-2y-7$, e dato che $41\in \mathbb{P}$ è immediato ridursi ai sistemi:
i) $2x+2y-7=41$ e $2x-2y-7=1$;
ii) $2x-2y-7=-1$ e $2x-2y-7=-41$.
E' immediato verificare che entrambe portano a soluzioni accettabili, e in particolare $x\in \{-7,14\}$
i) $2x+2y-7=41$ e $2x-2y-7=1$;
ii) $2x-2y-7=-1$ e $2x-2y-7=-41$.
E' immediato verificare che entrambe portano a soluzioni accettabili, e in particolare $x\in \{-7,14\}$
E infatti hai indovinato il modo in cui è stata costruita
probabilmente quell'equazione, per esempio (appunto)
si possono generare relazioni simili tramite uguaglianze
come questa:
[tex](ax+c-by)(ax+c+by)-k = x^2+\frac{2c}{a}\cdot x+\frac{c^2-k}{a^2}-\frac{b^2}{a^2}\cdot y^2[/tex].
per un opportuno [tex]k[/tex] e conseguenti termini restanti.
Bravo, bboypa
probabilmente quell'equazione, per esempio (appunto)
si possono generare relazioni simili tramite uguaglianze
come questa:
[tex](ax+c-by)(ax+c+by)-k = x^2+\frac{2c}{a}\cdot x+\frac{c^2-k}{a^2}-\frac{b^2}{a^2}\cdot y^2[/tex].
per un opportuno [tex]k[/tex] e conseguenti termini restanti.
Bravo, bboypa
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