Voglio essere calcolata anch'io!

[Piera4]

Calcolare
$sum_(n=0)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))$.

P.S. Adesso la serie è scritta correttamente.

[fu^2]

$sum_(n=0)^(+infty)arctan(1/(n^2+n-1))$=$arctansum_(n=0)^(+infty)(1/(n^2+n-1))$

$sum_(n=0)^(+infty)(1/(n^2+n-1))=1$quindi $arctan1=pi/2$

dove $ninNN$

[Piera4]

No, sono tutti passaggi che non si possono fare.

[fu^2]

perchè non si possono fare?...dove sta l'errore?...

[Piera4]

Ho sbagliato a scrivere la serie.
La serie giusta è questa:
$sum_(n=0)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))$.

@fu^2
una somma di arcotangenti non è uguale all'arcotangente della somma:
$arctan(1)+arctan(2)nearctan(1+2)$.

[_nicola de rosa]

"Piera":Calcolare
$sum_(n=0)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))$.

P.S. Adesso la serie è scritta correttamente.

Innanzitutto la serie converge perchè è infinitesima del secondo ordine rispetto a $1/n$
$3/(n^2+n-1)=3/(1+(n^2+n-2))=((n+2)-(n-1))/(1+(n+2)(n-1))$
Ora $arctg(3/(n^2+n-1))=arctg(((n+2)-(n-1))/(1+(n+2)(n-1)))=arctg(n+2)-arctg(n-1)+kpi$ e ciò deriva dalla formula nota per cui: $tg(alpha+-beta)=(tgalpha+-tgbeta)/(1-+tgalpha*tgbeta)$ da cui deriva $arctg((m+- n)/(1-+m*n))=arctgm +- arctgn+kpi$.
Nel nostro caso ci accorgiamo che i primi due termini della serie, per $n=0,n=1$ si elidono a vicenda, per cui
$sum_(n=0)^(+infty)arctg(3/(n^2+n-1))=sum_(n=2)^(+infty)arctg(3/(n^2+n-1))$=
$sum_(n=2)^(+infty)(arctg(n+2)-arctg(n-1))=lim_(N->+infty)sum_(n=2)^(N)(arctg(n+2)-arctg(n-1))$ in cui abbiamo assunto $k=0$ perchè per $n>2$ siamo nel primo quadrante.
Ora $sum_(n=2)^(N)(arctg(n+2)-arctg(n-1))=sum_(n=0)^(N)(arctg(n+2)-arctg(n-1))-pi/4-arctg(2)-arctg(3)$=
$arctg(N)+arctg(N+1)+arctg(N+2)-pi/4-arctg(2)-arctg(3)$ per cui

$lim_(N->+infty)sum_(n=2)^(N)(arctg(n+2)-arctg(n-1))=-pi/4-arctg(2)-arctg(3)+lim_(N->+infty)[arctg(N)+arctg(N+1)+arctg(N+2)]$=
$-pi/4-arctg(2)-arctg(3)+3/2*pi=5/4*pi-arctg2-arctg3$.
Ma $arctg(2)+arctg(3)=[arctg((2+3)/(1-2*3))+pi]=pi-pi/4=3/4*pi$ da cui
$sum_(n=0)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))=5/4*pi-3/4*pi=pi/2$

[Piera4]

Secondo questo file: http://it.wikipedia.org/wiki/Arcotangente

$arctan(3/(n^2+n-1))=arctan(((n+2)-(n-1))/(1+(n+2)(n-1)))=arctan(n+2)-arctan(n-1)$ se $-(n+2)(n-1)<1$.
Pertanto
$sum_(n=0)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))=-arctan3+sum_(n=1)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))=-arctan3+sum_(n=1)^(+infty)(arctan(n+2)-arctan(n-1))$.
Ora
$S_n=sum_(k=1)^n(arctan(k+2)-arctan(k-1))=-pi/4-arctan2+arctann+arctan(n+1)+arctan(n+2)$,
$lim_(n->+infty)S_n=5/4pi-arctan2$.
Allora la somma è
$sum_(n=0)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))=5/4pi-arctan2-arctan3$.
Salvo errori.

[Sk_Anonymous]

Il risultato di Pieragalli coincide con quello di NicasaMarciano.
Infatti ,tenuto conto che 2*3=6>1 e 2>0,risulta:
$5/4pi-arctan2-arctan3=5/4pi-(arctan2+arctan3)=5/4pi-[arctan((2+3)/(1-2*3))+pi]=5/4pi-[pi-(pi)/4]=5/4pi-3/4pi=pi/2$
karl

[_nicola de rosa]

"Piera":Secondo questo file: http://it.wikipedia.org/wiki/Arcotangente

$arctan(3/(n^2+n-1))=arctan(((n+2)-(n-1))/(1+(n+2)(n-1)))=arctan(n+2)-arctan(n-1)$ se $-(n+2)(n-1)<1$.
Pertanto
$sum_(n=0)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))=-arctan3+sum_(n=1)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))=-arctan3+sum_(n=1)^(+infty)(arctan(n+2)-arctan(n-1))$.
Ora
$S_n=sum_(k=1)^n(arctan(k+2)-arctan(k-1))=-pi/4-arctan2+arctann+arctan(n+1)+arctan(n+2)$,
$lim_(n->+infty)S_n=5/4pi-arctan2$.
Allora la somma è
$sum_(n=0)^(+infty)arctan(3/(n^2+n-1))=5/4pi-arctan2-arctan3$.
Salvo errori.

ho apportato una modifica alla mia soluzione rendendola più semplice. il risultato è sempre $pi/2$ che è uguale al tuo come ha fatto vedere anche Karl