Vi ricorda qualcosa?

[Mistral2]

Ho trovato quelo problemino leggendo un libro, ovviamento non di cucina regionale, ve lo propongo. Trovare tutte le soluzioni intere di n^x+n^y=n^z per cui n,x,y,z>=1.
E' molto meno difficile di quello che sembra a prima vista.

Saluti

Mistral

[nic31]

Vedo che bazzichi sempre dalle stesse parti:-)

Il problema non ha soluzioni:

n^x + n^y = n^z

ossia

n^x + n^(x+1) = n^(x+2)

equivale a scrivere

3n^x = 4n^x

ossia

3 = 4

Personalmente non ho nulla in contrario a considerare il tre uguale al quattro ma si di ce che non sia così:-)

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by nic

Vedo che bazzichi sempre dalle stesse parti:-)


n^x + n^(x+1) = n^(x+2)

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Sbagliato, comunque non ho capito in che sfera di cristallo hai divinato che y=x+1 e z=x+2.
Ah dimenticavo il problema ammette soluzioni, quando uno le scopre viene da prendersi a schiaffi da quanto sono semplici.

Ciao

Mistral

PS più che bazzicare dalle stesse parti a me vale il detto "la lingua batte dove il dente duole"[:)].

[Camillo]

Non capisco il primo passaggio : perchè poni : y=x+1 e z = x+2 ?
e non mi sembra corretto il passaggio successivo che darebbe invece : 1+n = n^2.
Camillo

[Camillo]

Beh una soluzione è : n=2 , x=y=1, z=2
Camillo

[nic31]

quote:

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Originally posted by Mistral

..non ho capito in che sfera di cristallo hai divinato che y=x+1 e z=x+2...

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Non l'ho divinato, x, y, e z sono lettere consecutive:-)

quote:

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Originally posted by camillo

Non capisco il primo passaggio : perchè poni : y=x+1 e z = x+2 ?
e non mi sembra corretto il passaggio successivo che darebbe invece : 1+n = n^2.

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Giusta osservazione Camillo.

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Direi che per n = 2, x = y e z = x + 1 abbiamo infinite soluzioni, ma per n <> 2?

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by camillo

Beh una soluzione è : n=2 , x=y=1, z=2
Camillo

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Ok ci sei vicino

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by nic
.....
Direi che per n = 2, x = y e z = x + 1 abbiamo infinite soluzioni, ma per n <> 2?

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Devi dedurlo tu cosa succede per n<>2

[nic31]

Ho considerato che

1) y = x + a
2) z = y + b

vi risparmio i passaggi:

1 + n^a = n^a * n^b

deduco che oltre a quelle citate, ossia a = 0, b = 1, n =2, non i sono altre soluzioni.

[Sk_Anonymous]

Come lo deduci?Io un'idea ce l'avrei.
La posto crittografata (la chiave e' semplicissima!!)
11==nn^^aa((nn^^bb--11))-->aassssuurrddoo
karl.

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by nic

Ho considerato che

1) y = x + a
2) z = y + b

vi risparmio i passaggi:

1 + n^a = n^a * n^b

deduco che oltre a quelle citate, ossia a = 0, b = 1, n =2, non i sono altre soluzioni.

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non ci pozzo credere è giusto [:D]

A parte gli scherzi Complimenti!

Mistral

[Sk_Anonymous]

Sara' giusto ma non ho ancora visto un minimo
di giustificazione,come avevo gentilmente chiesto.
Si vede che non e' piu' di moda illustrare le proprie
congetture:da oggi in poi sara' sufficiente
credere sulla parola!
Chi si contenta....
karl.

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by karl

Sara' giusto ma non ho ancora visto un minimo
di giustificazione,come avevo gentilmente chiesto.
Si vede non e' piu' di moda illustrare le proprie
congetture:da oggi in poi sara' sufficiente
credere sulla parola!
Chi si contenta....
karl.

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concordo stasera la posto

[nic31]

Dicevamo:

1 + n^a = n^a * n^b

Risolviamo rispetto alle due incognite:

      1 + n^a
n^b = -------
        n^a

         1
n^a = -------
      n^b - 1

Trattandosi di numeri interi, come richiesto dall'enunciato, avremo che:

1) 1 + n^a = k * n^a
2) n^a = 1

sostituendo la due nell'esplicitazione rispetto a n^b otteniamo:

      1 + 1
n^b = ----- = 2
        1

n^b = 2 ha solo una soluzione dovendo essere n e b interi ossia

1) n = 2
2) b = 1

e se n = 2 e n^a = 1 con n e a interi allora

3) a = 0

Sono certo che Mistral sarà più rigoroso di quanto non lo sia stato io, del resto per me tre o quattro circa si equivalgono:-)

[Sk_Anonymous]

Avevo in mente questa spiegazione:
1=n^a*(n^b-1)
Cio' implicherebbe che 1 sia divisibile per
n^a e cio' e' manifestamente assurdo in
quanto,essendo per ipotesi n>2 e a>=1,n^a e'
maggiore di 1.
Mi sembra troppo semplice per essere vero!
karl.

[nic31]

C'è della confusione, uno è divisibile per n^a solo per a = 0... forse Mistral dovrebbe riassumere il tutto, "a" è la differenza tra "x" e "y".

[Sk_Anonymous]

In effetti avrei dovuto porre a>=0 e quindi
dalla eguaglianza da me posta si
ricava che 1 e' divisible per n^a
solo se a=0 (come da te indicato) e da qui
scaturisce che la relazione e' possible solo
se n=2 contro l'ipotesi fatta (n>2).Dunque
per n>2 non vi sono soluzioni.
karl.

[Mistral2]

Ecco la soluzione come la vedo io, non ho letto le vostre comunque mi sembra che più o meno ci siamo. Comunque dato che l'ho promesso ecco la soluzione:

Se esistono x,y,z,n>=1 interi tali che n^x+n^y=n^z, allora siccome n^z>max(n^x,n^z) e data la monotonia stretta della funzione esponenziale:

z>x e z>y

senza perdere di generalità poniamo x>=y e poniamo a=y-x e b=z-y, risulta che:

n^x+n^(x+a)=n^(x+a+b)

dividendo ambo i membri per n^x si ha:
1+n^a=n^a*n^b da cui
1=n^a*(n^b-1)
da cui:
n^a=1
n^b-1=1 cioè n^b=2
quindi a=0 e siccome 2 è primo b=1 e n=2
Quindi abbiamo scoperto che le uniche soluzioni sono quelle della identità quasi banale per x intero non negativo:
2^x+2^x=2*2^x=2^(x+1)

QED

Saluti
Mistral

PS aspetto la soluzione del secondo problema "aprite gli occhi" è molto più facile del primo!

[nic31]

Per ricambiare la cortesia nemmeno io ho verificato i tuoi passaggi:-)
L'unica cosa da sottolineare per una maggiore comprensione del tutto è che diversamente da Mistral io ho considerato in partenza y >= x (il risultato non cambia).

quote:

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aspetto la soluzione del secondo problema "aprite gli occhi" è molto più facile del primo!

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Io invece aspetto "vi ricorda qualcosa III": x^n + y^n = z^n.