Verificare divisibilità (giochino).

[Kashaman]

Vi propongo un giochino di stampo algebrico. Non è difficile, ne tanto banale. Dovete dimostrare questa implicazione, si può fare , penso , anche senza conoscere propriamente l'aritmetica modulare. Ci possono provare un po tutti
Giochino :
Sia $x in ZZ$ , $n in NN$ e $p$ primo.
1)Mostrare che $AA n in NN , $ il numero $x^n-x^(n+1)$ è un multiplo di $p$ se e solo se $x$ è un multiplo di $p$ oppure $x$ è della forma $x=1+pk , k in ZZ$.
2)Provare che per $AA n in NN , n!=1$ $p|x^n-x^(n-1) <=> x in {1+p , 1+2p,1+3p...} , x in {p , 2p,....}$
Domanda bonus :
Con l'ipotesi che $x in { p, 2p , 3p......}$ oppure $x in {1+p,1+2p,1+3p.......}$. E' vero che
$p| x^n - x^(n+-1) + n$ <=> $p|n$ ?

Mia risoluzione :

Risolvo per via modulare.
La condizione è equivalente a considerare la congruenza$x^n-x^(n+1)-=0(modp)$
da cui $x^n(1-x)-=0(modp) => p| x^n$ oppure$p|1-x$
Da cui, segue banalmente che $p|1-x => x-=1(modp) => x=1+pk,k in ZZ$
e che $p|x^n => x-=0(modp)$ ove l'ultima implicazione deriva dal fatto che $ZZ_p$ è un campo. Tesi provata.
l'altra è pressoché analoga. Con qualche accortezza Risulta infatti che :
$x^n(1-x^-1)-=0(modp) => p| x^n $ oppure $p|1-x^-1$
$p|x^n => x^n-=0(modp)=> x-=0(modp)$.
Considerata la seconda si ha che $x^-1-=1(modp)$ ora, $x!= pk= > EE (x^-1)^-1$
pertanto, moltiplicando ambo i membri ho che $x-=1(modp)$
Conclusione :
$p|x^n-x^(n+1) <=> x-=0(modp) $ oppure $x-=1(modp)$
$p|x^n-x^(n-1) <=> x-=1(modp)$
Lascio a voi la domanda bonus.

Buon divertimento !

EDIT corretto.
Edit 2 :Ho fatto anche una piccola correzione al quesito.


Fuori esercizio .
Notate quest'altra cosa, è interessante. O almeno per me .Queste due applicazioni.
Sia $f : NN-> RR$ def $AA p$ primo da $AA p$ primo. $f(n) = p^n-p^(n+-1)$
Sia $f : NN-> RR$ def $AA p$ primo da $AA p$ primo. $f(n) = (kp+1)^n-(pk+1)^(n+-1)$ con $k$ fissato. Mandano entrambe in multipli di $p$

[xXStephXx]

e $p$ un primo. [strike]tale che p>0.[/strike]

[Kashaman]

Nel frattempo vi propongo quest'altra cosa. Forse un tantino più difficile delle precedenti
Provare che per $n in NN$,
il numero $(3^(n^2-1))^(n-1) - 17449402268886407318558803753801^(2002^n+n^20)$ è divisibile per $10$ se e solo se $n$ è della forma
1) $n= 1+4k , k in ZZ$
2) $n= 3+4k' , k' in ZZ$ .

Per via modulare.
Si noti che $17449402268886407318558803753801 = 11^30-=1(mod10)$. Da cui si ha che $17449402268886407318558803753801^(2002^n+n^20)-=1(mod10)$ essendo $11-=1(mod10)$.
Dunque, il problema richiesto è di stabilire per quali n
$(3^(n^2-1))^(n-1)-=1(mod10)$(1). Ora $(3,10)=1$ , per Eulero Fermat, se si vuole la condizione (1) , deve accadere che $f(10)=(5-1)(2-1)=4 | n^2-1 => n^2-=1(mod4) <=> n-=1 (mod4) , n-=3(mod4)$ , da cui l'asserto.