Vale per ogni n
Dimostrare che per ogni $n$ si ha che $a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2=k^2$ con $1\leq a_1,a_2,...,a_n \leq 9$
Risposte
E' un po' imprecisa la tua formulazione.
Forse intendi dire che $AAn\inZZ^+$, $EE(a_1,a_2,...,a_n)inNN^n$, con $1<=a_i<=9$ $AAi$, tale che $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=k^2$ essendo $kinZZ^+$
Forse intendi dire che $AAn\inZZ^+$, $EE(a_1,a_2,...,a_n)inNN^n$, con $1<=a_i<=9$ $AAi$, tale che $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=k^2$ essendo $kinZZ^+$
Avevo evitato queste scritte difficili... 
Le scritte "difficili" sono state introdotte apposta per evitare equivoci nell'interpretazione degli enunciati matematici. Se non è chiaro il testo del problema difficilmente qualcuno potrà fornirti una dimostrazione corretta.
$a_1, a_2 ... a_n$ sono distinti?
Direi che non sono distinti, dato che $n$ può anche essere maggiore di $9$.
Era tanto per avere la conferma
per $n=1$ è vera per ogni $a_i\in[1,9]nnNN$
per $n=2$, $(3,4)$ è una soluzione.
per $n=3$, $(1,2,2)$ è una soluzione.
per $n=4$, $(5,5,5,5)$ è una soluzione.
Naturalmente se $n$ è un quadrato perfetto la questione è semplice, poiché basta porre tutti gli $a_i$ uguali per ottenere un quadrato perfetto, infatti $na_i^2$ è ovviamente un quadrato. Per motivi che poi vedremo consideriamo l'$n-pla$ che abbia tutte le componenti uguali a $5$. Si nota per che $AAx>=3$ si ha che $(x+1)^2<2x^2$.
Del resto $5^2=3^2+4^2$. Perciò avendo una $n-pla$ di $n=x^2$ componenti tutte uguali a $5$, sostituendo appropriamente i $5$ con $3$ e $4$ è possibile ottenere tutte le $n-\pl\e$ con $x^2<=n<=2x^2$. Poiché per valori di $x$ abbastanza alti vale che il quadrato perfetto successivo è minore del doppio del precedente, si ha che tutti i numeri naturali positivi possono essere coperti.
ESEMPIO
Si vuole determinare una $71-pla$ tale che la somma dei quadrati di ciascuna componente sia un quadrato perfetto. Sappiamo che la $64-pla$ composta da tutti 5 soddisfa questa condizione. Ora se tu prendi 7 di questi $5$ e sostituisci ciascuno di essi con un $3$ e con un $4$, sapendo che $3^2+4^2=5^2$ ottieni una $71-pla$ che soddisfa le richieste.
In realtà si può considerare anche la $49-pla$ con tutti $5$ e sostituire 22 $5$ con 22 $3$ e 22 $4$
per $n=2$, $(3,4)$ è una soluzione.
per $n=3$, $(1,2,2)$ è una soluzione.
per $n=4$, $(5,5,5,5)$ è una soluzione.
Naturalmente se $n$ è un quadrato perfetto la questione è semplice, poiché basta porre tutti gli $a_i$ uguali per ottenere un quadrato perfetto, infatti $na_i^2$ è ovviamente un quadrato. Per motivi che poi vedremo consideriamo l'$n-pla$ che abbia tutte le componenti uguali a $5$. Si nota per che $AAx>=3$ si ha che $(x+1)^2<2x^2$.
Del resto $5^2=3^2+4^2$. Perciò avendo una $n-pla$ di $n=x^2$ componenti tutte uguali a $5$, sostituendo appropriamente i $5$ con $3$ e $4$ è possibile ottenere tutte le $n-\pl\e$ con $x^2<=n<=2x^2$. Poiché per valori di $x$ abbastanza alti vale che il quadrato perfetto successivo è minore del doppio del precedente, si ha che tutti i numeri naturali positivi possono essere coperti.
ESEMPIO
Si vuole determinare una $71-pla$ tale che la somma dei quadrati di ciascuna componente sia un quadrato perfetto. Sappiamo che la $64-pla$ composta da tutti 5 soddisfa questa condizione. Ora se tu prendi 7 di questi $5$ e sostituisci ciascuno di essi con un $3$ e con un $4$, sapendo che $3^2+4^2=5^2$ ottieni una $71-pla$ che soddisfa le richieste.
In realtà si può considerare anche la $49-pla$ con tutti $5$ e sostituire 22 $5$ con 22 $3$ e 22 $4$
In pratica ogni serie da 5 può essere sostituita con dei 3 e dei 4 in modo da riacchiappare il quadrato successivo.
Bella soluzione
Bella soluzione
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