Una strana radice

[Sk_Anonymous]

Dimostrare che l'equazione:
$x^7-14x^6+21x^5-70x^4+35x^3-42x^2+7x-2=0
ha la radice :
$x=2+root[7]3+root[7](3^2)+root[7](3^3)+....+root[7](3^6)$
L'equazione in questione ha altre radici reali oltre quella gia' indicata?
Archimede

[ficus2002]

bello questo problema, appena ho tempo provo a risolverlo!

[JvloIvk]

$x^7-14x^6+21x^5-70x^4+35x^3-42x^2+7x-2=(3(x-1)^7-(x+1)^7)/2=0$
L'unica soluzione essendo una differenza di potenze dispari è $x=(root{7}3+1)/ (root{7}3-1)=1+2/(root{7}3-1)=1+(root{7}(3^7)-1)/(root{7}3-1)=2+root[7]3+root[7](3^2)+root[7](3^3)+....+root[7](3^6)$

[Sk_Anonymous]

@JvloIvk
Buona soluzione la tua anche se c'e' da osservare che e' piuttosto difficile immaginare
una tale scomposizione .Io avrei fatto il contrario partendo dalla radice, e precisamente:
$x-1=root[7](3^0)+root[7](3^1)+root[7](3^2)+root[7](3^3)+root[7](3^4)+root[7](3^5)+root[7](3^6)$
Poiche' a secondo membro compare una progressione geometrica ,per una nota formula,abbiamo:
$x-1=(root[7](3^7)-1)/(root[7]3-1)=2/(root[7]3-1)$
Ed isolando la radice:
$root[7]3=(x+1)/(x-1)$ da cui elevando alla settima si ha l'equazione :
$3(x-1)^7-(x+1)^7=0$ che, a meno di qualche fattore costante, e' poi l'equazione data.
Archimede