Una strana media
Dimostrare che la media aritmetica dei numeri:
$2sin2°,4sin4°,6sin6°,...,90sin90°,92sin92°,...,178sin178°,180sin180°$
e' $cot1°$
karl
$2sin2°,4sin4°,6sin6°,...,90sin90°,92sin92°,...,178sin178°,180sin180°$
e' $cot1°$
karl
Risposte
La media aritmetica della successione può essere scritta come $sum_(k=1)^(90) (2 k sin(2 k))/90$.
Utilizzando l'identità $sum_(k=1)^(n) k sin(k a) = 1/4 csc^2(a/2)[(n+1)sin(n a) - n sin((n+1)a)]$ riscrivo l'espressione come $(91 sin(180) - 90 sin(182))/(180 sin^2(1))$.
Poichè $91 sin(180) = 90 sin(180) + sin(180) = 90 sin(180)$ ottengo $-(sin(182)-sin(180))/(2sin^2(1))$.
Osservo che $sin(182)-sin(180) = 2sin((182-180)/2)cos((182+180)/2)=2sin(1)cos(181)$ ed anche $cos(181) = cos(180)cos(1)-sin(180)sin(1)=-cos(1)$.
Sostituendo $-(sin(182)-sin(180))/(2sin^2(1)) = -cos(181)/sin(1) = cos(1)/sin(1) = cot(1)$, ovvero la conclusione.
Per riferimenti riguardo l'identità usata vedere qui.
Utilizzando l'identità $sum_(k=1)^(n) k sin(k a) = 1/4 csc^2(a/2)[(n+1)sin(n a) - n sin((n+1)a)]$ riscrivo l'espressione come $(91 sin(180) - 90 sin(182))/(180 sin^2(1))$.
Poichè $91 sin(180) = 90 sin(180) + sin(180) = 90 sin(180)$ ottengo $-(sin(182)-sin(180))/(2sin^2(1))$.
Osservo che $sin(182)-sin(180) = 2sin((182-180)/2)cos((182+180)/2)=2sin(1)cos(181)$ ed anche $cos(181) = cos(180)cos(1)-sin(180)sin(1)=-cos(1)$.
Sostituendo $-(sin(182)-sin(180))/(2sin^2(1)) = -cos(181)/sin(1) = cos(1)/sin(1) = cot(1)$, ovvero la conclusione.
Per riferimenti riguardo l'identità usata vedere qui.
Bene,Eredir.
La mia soluzione non adopera quella particolare identita'
anche se alla fine concettualmente non se ne discosta molto.
Alla prossima!
karl
La mia soluzione non adopera quella particolare identita'
anche se alla fine concettualmente non se ne discosta molto.
Alla prossima!
karl
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