Una somma particolare
Determinare la somma S (di n addendi) cosi' formata:
S=2+22+222+2222+22222+.........
Buon ...divertimento.
karl.
P.S.
Si dice talvolta :determinare S in forma chiusa.
S=2+22+222+2222+22222+.........
Buon ...divertimento.
karl.
P.S.
Si dice talvolta :determinare S in forma chiusa.
Risposte
La somma è:
S = (2/81)*[10(10^n - 1) - 9n]
Lascio ad altri la semplice dimostrazione.
Colgo l'occasione per fare gli auguri di Buon Natale a tutto il forum.
S = (2/81)*[10(10^n - 1) - 9n]
Lascio ad altri la semplice dimostrazione.
Colgo l'occasione per fare gli auguri di Buon Natale a tutto il forum.
Io mi trovo con lo stesso risultato di MaMo, anche se ho fatto un ragionamento un po' "spericolato" lavorando su alcune serie (doppie!!)...
Serie doppie? Un bel lavoro non c'e' che
dire.Mi piacerebbe vederlo dato che il mio
procedimento e' molto meno sofisticato.
karl.
dire.Mi piacerebbe vederlo dato che il mio
procedimento e' molto meno sofisticato.
karl.
Il mio è sicuramente un ragionamento molto più lungo, premesso che a scuola non ho mai avuto a che fare con serie o roba del genere... non credo che questo si studi in 2° liceo... Andando un po' in giro su internet credo di aver imparato qualcosina... Cmq le serie "doppie" che intendevo sono queste da cui ottengo lo stesso risultato di MaMo...
Non ho capito molto della tua spiegazione
...assai sintetica.Comunque complimenti:e'
raro che un quindicenne s'interessi di tali
argomenti.
karl.
...assai sintetica.Comunque complimenti:e'
raro che un quindicenne s'interessi di tali
argomenti.
karl.
si infatti spiegaci meglio =)
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
Lo so di essere un po' "recidivo". Cmq cercherò di farvi un esempio per vedere se riesco a spiegarmi meglio.
Come prima cosa ho fattorizzato l'espressione ottendo quindi la forma 2(1+11+111+...), e fin qui ci siamo.
Ora prendiamo ad esempio 3 addendi quindi n=3; 2+22+222=2(111+11+1).
È possibile scrivere quest'ultima espressione così:
A questo punto ci serviamo delle serie.
Calcoliamo le rispettive serie di questi ultimi 3 addendi:
Adesso i numeri n-1, n-2, n-3 presenti negli estremi superiori delle serie (credo che si chiamino così) diventano k che quindi andrà da 1 fino ad n.
Ecco quindi che si ottiene il risultato che ho postato prima che rappresenta la "somma" di queste 3 serie. Sicuramente questa è una dimostrazione un po' "grezza", ma cercate di comprendermi...
Come prima cosa ho fattorizzato l'espressione ottendo quindi la forma 2(1+11+111+...), e fin qui ci siamo.
Ora prendiamo ad esempio 3 addendi quindi n=3; 2+22+222=2(111+11+1).
È possibile scrivere quest'ultima espressione così:
A questo punto ci serviamo delle serie.
Calcoliamo le rispettive serie di questi ultimi 3 addendi:
Adesso i numeri n-1, n-2, n-3 presenti negli estremi superiori delle serie (credo che si chiamino così) diventano k che quindi andrà da 1 fino ad n.
Ecco quindi che si ottiene il risultato che ho postato prima che rappresenta la "somma" di queste 3 serie. Sicuramente questa è una dimostrazione un po' "grezza", ma cercate di comprendermi...
Ecco cosa sono riuscito a fare (ma ci ho messo piu' di mezzora!!)
spero sia tutto giusto
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
spero sia tutto giusto
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
eafkuor, non mi trovo con l'ultima formula che hai postato... Infatti se la serie a destra ha come estremo superiore "n" il risultato finale sarà quello che si ottiene con n+1 addendi:
Per scrivere il numero 222 (n=3) con la tue serie, si ottiene:
2*10^0 + 2*10^1 + 2*10^2 + 2*10^3 = 2222,
capito che intendo...?
Secondo me si potrebbe correggere quell'estremo con n-1...
Per scrivere il numero 222 (n=3) con la tue serie, si ottiene:
2*10^0 + 2*10^1 + 2*10^2 + 2*10^3 = 2222,
capito che intendo...?
Secondo me si potrebbe correggere quell'estremo con n-1...
Disturbo solo un secondo per dare un cosiglio a eafkuor. Perché le immagini siano più nitide, salvale in .gif e non .jpg, occupano circa lo stesso spazio, sono più definite e più anche renderle trasparenti.
per elvis, fino a che le immagini sono piccole il .bmp non crea molti problemi, ma se aumentano di dimensione appesantisci molto la pagina. Per darti un idea le tue immagini sono da quasi 100k riesci ad ottenere la stessa definizione con pochi k salvando in .gif
ecco un esempio 1,7k:
WonderP.
per elvis, fino a che le immagini sono piccole il .bmp non crea molti problemi, ma se aumentano di dimensione appesantisci molto la pagina. Per darti un idea le tue immagini sono da quasi 100k riesci ad ottenere la stessa definizione con pochi k salvando in .gif
ecco un esempio 1,7k:
WonderP.
quote:
Originally posted by elvis
Il mio è sicuramente un ragionamento molto più lungo, premesso che a scuola non ho mai avuto a che fare con serie o roba del genere... non credo che questo si studi in 2° liceo... Andando un po' in giro su internet credo di aver imparato qualcosina...
Impari in così poco tempo? Complimenti!!
Grazie fireball...
Cmq per WonderP: posso soltanto usare programmi come paint e non ho adobe photoshop o qualcosa di simile. Ma il colmo è che non posso neanche scaricarmi qualcosa da Internet perché il modem dà problemi...
Cmq per WonderP: posso soltanto usare programmi come paint e non ho adobe photoshop o qualcosa di simile. Ma il colmo è che non posso neanche scaricarmi qualcosa da Internet perché il modem dà problemi...
Non è che a quindici anni sai già fare integrali, derivate, limiti
e studio di funzione? [:D] E magari sai pure risolvere
le equazioni differenziali, sai applicare l'Analisi alla Fisica [:D][:D] !!
e studio di funzione? [:D] E magari sai pure risolvere
le equazioni differenziali, sai applicare l'Analisi alla Fisica [:D][:D] !!
No, penso proprio di no. Altrimenti adesso non starei in pigiama davanti al computer a postarti questo messaggio... !!
Forse così le immagini vanno meglio... anche se non sono trasparenti...!!
elvis si hai ragione, ma data l' ora del post non potevo proprio accorgermi di un errore del genere 
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
Non pensavo che un esercizio come questo potesse
avere...tali sviluppi.
Comunque ecco la mia soluzione:
S=2[1+11+111+1111+...]=
=2[(10-1)/9+(10^2-1)/9+(10^3-1)/9+...+(10^n-1)/9]=
=2/9[(10^1+10^2+10^3+..+10^n)-(1+1+1+...+1)]
Ora la somma delle potenze del 10 e' quella di una
progressione geometrica di primo termine 10 e ragione 10;
per una nota formula tale somma e':
10*(10^n-1)/(10-1)=10/9*(10^n-1), mentre la somma degli 1 e' n
Dunque:
S=2/9*[10/9*(10^n-1)-n] che e' la formula indicata
anche da Mamo.
karl.
=
avere...tali sviluppi.
Comunque ecco la mia soluzione:
S=2[1+11+111+1111+...]=
=2[(10-1)/9+(10^2-1)/9+(10^3-1)/9+...+(10^n-1)/9]=
=2/9[(10^1+10^2+10^3+..+10^n)-(1+1+1+...+1)]
Ora la somma delle potenze del 10 e' quella di una
progressione geometrica di primo termine 10 e ragione 10;
per una nota formula tale somma e':
10*(10^n-1)/(10-1)=10/9*(10^n-1), mentre la somma degli 1 e' n
Dunque:
S=2/9*[10/9*(10^n-1)-n] che e' la formula indicata
anche da Mamo.
karl.
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