Una sfida

[fu^2]

una bilia si trova su un piano in una posizione P. provare che esiste almeno una direzione
secondo cui si può lanciare la bilia in modo che essa non ripassi mai per la posizione P.
Si consideri il biliardo privo di attrito e che il rimbalzo obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce.




con un pò di pensiero ho intuito che potrebbe essere che se tiri la pallina a 90°, essa non ripasserà mai, ma nn riesco a dimostrarlo... e quindi non so se la mia risp è giusta


a voi getto la sfida di risolvere questo... a me sta creando tanti problemi...

[crono87]

90° è sicuramente sbagliato... il tavolo è rettangolare quindi...

al primo rimbalzo forma 90°, al secondo di nuovo 90, al terzo ancora 90, così come al quarto... quindi si viene a creare un rettangolo, e ciò significherebbe che al quarto rimbalzo tornerebbe su P

[desko]

C'è qualcosa che mi sfugge: cos'è questo 90°?
Ovvero io lo intenderei come angolo formato dalla traiettoria e la sponda del primo rimbalzo, ma mi sembra evidente che questa sarebbe la cosa più sbagliata, visto che la bilia non farebbe altro che passare e ripassare dal punto di partenza. Quindi fu^2 non l'avrebbe proposta.

Poi a leggere la risposta di crono87 sembra di capire che 90° sia l'angolo fra le traiettorie prima e dopo il rimbalzo, ma è impossibile che si formi un rettangolo, a meno che il biliardo sia quadrato e la bilia percorre il quadrato che ha per vertici i punti medi dei lati del biliardo (non bastano 4 angoli retti per avere un rettangolo: occcorre innanzitutto che la linea spezzata si chiuda, cosa che non avviene se non dopo molti più rimbalzi).

A leggere il testo nudo e crudo, mi verrebbe da dire che qualunque direzione che abbia le componenti parallele ai lati del biliardo incommensurabili è buono. E ho anche una mezza idea su come dimostrarlo, ma prima volgio capire se ho capito bene.

[crono87]

ti posso dimostrare che quello che ho detto è molto + che sensato...

se prendi una penna, e disegni la traiettoria della bilia considerando che ad ogni rimbalzo sia deviata di 90°, ti accorgi che al quarto rimbalzo la curva si chiude con precisione

[Salamandra2]

Scusate se mi intrometto, ma la bilia ha un angolo tra la direzione prima del rimbalzo e dopo di 90 gradi se e solo se la bilia forma con la sponda un angolo di 45 gradi perche' altrimenti l'angolo di cui la bilia e' deviata dipende dal suo angolo d'impatto con la sponda del biliardo, secondo le leggi di riflessione. Forse ho capito male, ma mi pare che questo fosse uno dei problemi proposti alla Normale.

[40rob]

Io posso dimostrare che esiste una direzione, però non so come determinarla.

Le traiettorie sono composte da spezzate di segmenti. Se disponiamo delle copie del rettangolo del biliardo insieme alla biglia in un piano in modo regolare formando una griglia a specchio (cioè una griglia in cui ogni elemento rettangolare sia speculare rispetto a quelli che hanno con questo un lato in comune prendendo come assi di simmetria i lati stessi) abbiamo che, per motivi di simmetria, la sequenza dei segmenti della traiettoria che segue la biglia all’interno del rettangolo è la stessa dei segmenti che si ottengono prolungando nel piano il primo segmento della traiettoria ed intersecando questa semiretta ripetutamente con le linee della griglia.
Se una sequenza di segmenti ritorna sullo stesso "punto biglia" all’interno del rettangolo allora necessariamente la semiretta prolungata dovrà andare a finire su qualche punto copia della biglia ripetuto nella griglia di rettangoli. Siccome l'insieme dei punti formato dai "punti biglia" ripetuti nel piano è numerabile e conseguentemente anche le semirette che hanno per origine uno stesso punto e passanti per uno di questi “punti biglia” deve essere numerabile, allora dalla non numerabilità delle semirette passanti per un punto del piano segue che deve esistere una semiretta che parte dalla nostra biglia e non passa per nessuna delle biglie copia disposte nel piano e perciò in corrispondenza di questa semiretta esiste una spezzata che non ripassa per la stessa posizione.
Quindi data una posizione della biglia all’interno del rettangolo, esiste in corrispondenza di questa una direzione tale che la biglia non ritorna sul punto di partenza.