Una sfera, su cui giacciono $n$ sfere...
Buon giorno a tutti, ho pensato al seguente gioco, che dovrebbe essere già noto, di cui vorrei conoscere, o meglio,
verificarne la soluzione, se esiste, dato che in rete non ho trovato nulla.
Un solido è formato da una sfera al centro di raggio $R$, sulla cui superficie sono state disposte
uniformemente $n$ sfere di raggio $r$. Sapendo che i raggi di tutte le sfere sono numeri interi,
è possibile calcolare il valore di $n$, se questo deve essere massimo? Se si quanto vale?
Nel caso non fosse possibile, si può comunque esprimere $n$ in funzione dei raggi?
Con la speranza di essere stato abbastanza chiaro, vi ringrazio anticipatamente, augurandovi una buona Domenica.
verificarne la soluzione, se esiste, dato che in rete non ho trovato nulla.
Un solido è formato da una sfera al centro di raggio $R$, sulla cui superficie sono state disposte
uniformemente $n$ sfere di raggio $r$. Sapendo che i raggi di tutte le sfere sono numeri interi,
è possibile calcolare il valore di $n$, se questo deve essere massimo? Se si quanto vale?
Nel caso non fosse possibile, si può comunque esprimere $n$ in funzione dei raggi?
Con la speranza di essere stato abbastanza chiaro, vi ringrazio anticipatamente, augurandovi una buona Domenica.
Risposte
Escludendo i cinque solidi platonici, mi è difficile pensare ad n sfere identiche disposte 'uniformemente' sulla superficie di un'altra sfera.
Ciao
Ciao
Per disposte intendo tutte tangenti tra loro, un esempio:
http://www.orianapagliarone.it/enigma/Image24.gif
Solo che se devono avere raggi interi....
Diciamo che ho calcolato quanti cerchi con raggi interi è possibile disporre intorno ad un altro cerchio(la risposta qui è semplice, non penso di essermi sbagliato) quindi ho pensato si potesse in qualche modo estendere...
Ciao.
http://www.orianapagliarone.it/enigma/Image24.gif
Solo che se devono avere raggi interi....
Diciamo che ho calcolato quanti cerchi con raggi interi è possibile disporre intorno ad un altro cerchio(la risposta qui è semplice, non penso di essermi sbagliato) quindi ho pensato si potesse in qualche modo estendere...
Ciao.
Purtroppo il passaggio da due a tre dimensioni non è indolore. Mentre nel piano posso recintare un cerchio con un numero qualsiasi (maggiore di due) di cerchi, fra loro congruenti, di raggio opportuno; con le sfere le cose cambiano.
Consideriamo i centri delle sfere (più di tre) che siano tangenti alla sfera centrale ed alle gemelline adiacenti. Questi centri dovrebbero essere vertici di un poliedro convesso regolare, ma, com'è arcinoto, i solidi platonici sono solo cinque.
Ciao
Consideriamo i centri delle sfere (più di tre) che siano tangenti alla sfera centrale ed alle gemelline adiacenti. Questi centri dovrebbero essere vertici di un poliedro convesso regolare, ma, com'è arcinoto, i solidi platonici sono solo cinque.
Ciao
Ti ringrazio per la spiegazione, molto interessante, tolto il dente tolto il "dolore"...
Per il calcolo del numero $n$ di cerchi tangenti tra loro, con raggio $r$, e a loro volta tangenti
al cerchio centrale di raggio $R$, ho trovato questa:
$n=\pi/arcsin{r/(R+r)}$
Sapresti dirmi cortesemente se è corretta?
Se lo è, mi risulta che per ottenere $n$ intero con $R>0$ e $r>0$ interi,
deve essere $R=r$, che implica sempre $n=6$
Per il calcolo del numero $n$ di cerchi tangenti tra loro, con raggio $r$, e a loro volta tangenti
al cerchio centrale di raggio $R$, ho trovato questa:
$n=\pi/arcsin{r/(R+r)}$
Sapresti dirmi cortesemente se è corretta?
Se lo è, mi risulta che per ottenere $n$ intero con $R>0$ e $r>0$ interi,
deve essere $R=r$, che implica sempre $n=6$
"curie88":
Sapresti dirmi cortesemente se è corretta?
A mio avviso è corretta, come corrette sono le deduzioni successive.
Ciao
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