Una seria serie
Molti di voi sapranno che la serie 1/n diverge, eppure basta che si eliminino tutti i termini che contengono la cifra 9 e la serie converge. Sapreste dimostrarlo?
Risposte
potrei sapere i significati esatti di "divergere" e "convergere"?
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
Una serie è una somma di n termini (al limite infiniti). Semplificando molto, se la somma è (o tende a) un numero finito, allora converge, se la somma mi da infinito allora diverge.
Purtroppo per la soluzione di questo giochino servono un po' di nozioni sulle serie.
Purtroppo per la soluzione di questo giochino servono un po' di nozioni sulle serie.
grazie =)
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Woody Allen
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
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I numeri che contengono la cifra 9 si possono scrivere nella forma 9+10*n. Giusto? Ho provato a sottrarre a 1/n, 1/(9+10*n) e descrivere il carattere. E' divergente. Significa che ho sbagliato sicuramente. Ma dove?
Leonardo, i numeri che al denominatore contengono la cifra 9 sono più di quelli da te indicati
(es. 1/90, 1/91 ...) e questo è il punto chiave ......
(es. 1/90, 1/91 ...) e questo è il punto chiave ......
hai ragione non l'ho proprio notato. grazie mamo
Consideriamo i termini della serie raggruppati a pacchetti così (non formalizzo, ma non credo sia importante):
1° i reciproci dei numeri di una cifra (1, 2, 3, ... ,9)
2° i reciproci degli altri numeri di due cifre (anche 3 potrebbe essere considerato di 2 cifre come 03) (10, 11, 12, 13, ... ,98, 99)
3° i reciproci degli altri numeri di tre cifre
...
n° i reciproci degli altri numeri di enne cifre
...
In ogni pacchetto maggioro la somma considerando tutti i suoi numeri uguali al maggiore: nell'ennesimo pacchetto considero tutti i numeri uguali a 1/10^(n-1). Tali numeri fanno così parte di quello che chiamo "pacchetto maggiorato, e che scrivo con "PM".
La somma del primo PM è 9, ma se elimino tutti i "9" ottengo che nel primo PM la somma non fa 9, ma 8=9·(8/9).
Anche nel secondo PM la somma sarebbe 9, e se elimino tutti i 9 come prima cifra ottengo ancora 8=9·(8/9), se poi elimino i numeri che hanno ancora un 9 ne elimino 1 su dieci, qindi il numero totale è 9·(8/9)·(9/10)=8·(9/10) .
Chiamo T(n) la somma degli elementi dell'n-esimo PM.
Allora nel calcolo di T(n+1) si ha che la somma dei reciproci dell'(n+1)-esimo PM sarebbe 9, e che se elimino tutti i 9 come come prima cifra, poi come seconda, e così via fino all'n-esima, ottengo lo stesso identico valore del precedente: T(n), ma, avendo una cifra in più, ho ancora dei numeri che hanno un 9, e lo hanno alla cifra delle unità cioè 1 ogni 10. Per questo T(n+1)=T(n).
É quindi ovvio che
T(1) = 8;
T(2)=8·(9/10);
T(3)=8·(9/10)²;
T(3)=8·(9/10)³;
.....
T(n+1)=8·(9/10)^n
.....
A questo punto è agevole concludere che la sommatoria di tali valori converge: si sa che, se 0
E poiché i TM maggioravano "la serie" originale si sa che anche questa converge.
se avessi minorato con il numero più piccolo avrei ottenuto invece le seguenti somme: 8/8, 80/88, 800/888, ... che oposso minorare con 8/9, e che mi dà quindi un totale di 80/9, e che mi permette di concludere che la serie originale converge ad un numero che si trova fra 8,8 e 80.
Ma una approssimazione migliore si potrebbe ottenere con la seguente stima dei valori:
Se faccio la somma dei reciproci del primo PM tolti i numeri col 9, cioè dei primi 8 naturali positivi, ottengo che in media si comportano come il reciproco di un numero che, alla 4ª cifra decimale, si approssima con 2,9435, e si può maggiorare con 2,9434
Ovviamente se invece di numeri di una cifra ho numeri di 2 cifre la cosa non cambia molto, l'unico serio pronblema è che vi elimino i numeri che hanno la cifra 9 e che sono quelli con il reciproco più piccolo (se avessi tolto la cifra 1, 2 o 3 sarei stato molto più tranquillo, ma anche così no ndovrei avere problemi...).
Comunque osservo che se non avessi eliminato i 9 avrei ottenuto un numero approssimato a 3,1814 , invece di 2,9434 , ed il loro rapporto è 1,0808. Poiché la variazione rispetto al pacchetto non maggiorato è senz'altro maggiore quando ho meno cifre, si ha che posso maggiorare la somma della serie originale con 80/2,9434·1,0809=29,3783 e minorare con
80/2,9435=27,1785.
In conclusione, detta S la somma (e se non ho fatto errori), si ha:
27,1785 < S <29,3783
(è la prima volta che mi cimento in calcoli approssimati in questa maniera ...)
Sapendo di non essere stato del tutto chiaro spero di aveci "azeccato": se qualcuno fa il calolo in automatico me lo faccia sapere.
1° i reciproci dei numeri di una cifra (1, 2, 3, ... ,9)
2° i reciproci degli altri numeri di due cifre (anche 3 potrebbe essere considerato di 2 cifre come 03) (10, 11, 12, 13, ... ,98, 99)
3° i reciproci degli altri numeri di tre cifre
...
n° i reciproci degli altri numeri di enne cifre
...
In ogni pacchetto maggioro la somma considerando tutti i suoi numeri uguali al maggiore: nell'ennesimo pacchetto considero tutti i numeri uguali a 1/10^(n-1). Tali numeri fanno così parte di quello che chiamo "pacchetto maggiorato, e che scrivo con "PM".
La somma del primo PM è 9, ma se elimino tutti i "9" ottengo che nel primo PM la somma non fa 9, ma 8=9·(8/9).
Anche nel secondo PM la somma sarebbe 9, e se elimino tutti i 9 come prima cifra ottengo ancora 8=9·(8/9), se poi elimino i numeri che hanno ancora un 9 ne elimino 1 su dieci, qindi il numero totale è 9·(8/9)·(9/10)=8·(9/10) .
Chiamo T(n) la somma degli elementi dell'n-esimo PM.
Allora nel calcolo di T(n+1) si ha che la somma dei reciproci dell'(n+1)-esimo PM sarebbe 9, e che se elimino tutti i 9 come come prima cifra, poi come seconda, e così via fino all'n-esima, ottengo lo stesso identico valore del precedente: T(n), ma, avendo una cifra in più, ho ancora dei numeri che hanno un 9, e lo hanno alla cifra delle unità cioè 1 ogni 10. Per questo T(n+1)=T(n).
É quindi ovvio che
T(1) = 8;
T(2)=8·(9/10);
T(3)=8·(9/10)²;
T(3)=8·(9/10)³;
.....
T(n+1)=8·(9/10)^n
.....
A questo punto è agevole concludere che la sommatoria di tali valori converge: si sa che, se 0
E poiché i TM maggioravano "la serie" originale si sa che anche questa converge.
se avessi minorato con il numero più piccolo avrei ottenuto invece le seguenti somme: 8/8, 80/88, 800/888, ... che oposso minorare con 8/9, e che mi dà quindi un totale di 80/9, e che mi permette di concludere che la serie originale converge ad un numero che si trova fra 8,8 e 80.
Ma una approssimazione migliore si potrebbe ottenere con la seguente stima dei valori:
Se faccio la somma dei reciproci del primo PM tolti i numeri col 9, cioè dei primi 8 naturali positivi, ottengo che in media si comportano come il reciproco di un numero che, alla 4ª cifra decimale, si approssima con 2,9435, e si può maggiorare con 2,9434
Ovviamente se invece di numeri di una cifra ho numeri di 2 cifre la cosa non cambia molto, l'unico serio pronblema è che vi elimino i numeri che hanno la cifra 9 e che sono quelli con il reciproco più piccolo (se avessi tolto la cifra 1, 2 o 3 sarei stato molto più tranquillo, ma anche così no ndovrei avere problemi...).
Comunque osservo che se non avessi eliminato i 9 avrei ottenuto un numero approssimato a 3,1814 , invece di 2,9434 , ed il loro rapporto è 1,0808. Poiché la variazione rispetto al pacchetto non maggiorato è senz'altro maggiore quando ho meno cifre, si ha che posso maggiorare la somma della serie originale con 80/2,9434·1,0809=29,3783 e minorare con
80/2,9435=27,1785.
In conclusione, detta S la somma (e se non ho fatto errori), si ha:
27,1785 < S <29,3783
(è la prima volta che mi cimento in calcoli approssimati in questa maniera ...)
Sapendo di non essere stato del tutto chiaro spero di aveci "azeccato": se qualcuno fa il calolo in automatico me lo faccia sapere.
Io ho trovato un intervallo di convergenza diverso.
Consideriamo i termini con denominatore di due cifre. Possiamo scrivere:
9/20 < (1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 + 1/18) < 9/10
9/30 < (1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25 + 1/26 + 1/27 + 1/28) < 9/20
.................
La somma dei termini con denominatore di due cifre (S2) è perciò soggetta alle limitazioni:
(9/10)(1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < S2 < (9/10)(1 + 1/2 + ... + 1/8)
Per la somma dei termini con denominatore a tre cifre si avrà:
(81/100)(1/2 + 1/3 + .....+ 1/9) < S3 < (81/100)(1 + 1/2 + ... + 1/8)
In generale, per denominatori di n cifre, si ha:
[(9/10)^(n - 1)](1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < Sn < [(9/10)^(n - 1)](1 + 1/2 + ... + 1/8)
I limiti della serie perciò sono:
8/9 + (1/2 + 1/3 + ... + 1/9)Sommatoria(da n = 1 a inf)(9/10)^(n - 1) < S < (1 + 1/2 + ... + 1/8)Sommatoria(da n = 1 a inf)(9/10)^(n - 1)
Essendo la somma della serie geometrica di ragione 9/10 uguale a 10 si ha:
8/9 + 10(1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < S < 10(1 + 1/2 + ... + 1/8)
Eseguendo le somme si trova:
537/28 < S < 761/28
Approssimando si ottiene infine:
19,17 < S < 27,18.
Consideriamo i termini con denominatore di due cifre. Possiamo scrivere:
9/20 < (1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 + 1/18) < 9/10
9/30 < (1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25 + 1/26 + 1/27 + 1/28) < 9/20
.................
La somma dei termini con denominatore di due cifre (S2) è perciò soggetta alle limitazioni:
(9/10)(1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < S2 < (9/10)(1 + 1/2 + ... + 1/8)
Per la somma dei termini con denominatore a tre cifre si avrà:
(81/100)(1/2 + 1/3 + .....+ 1/9) < S3 < (81/100)(1 + 1/2 + ... + 1/8)
In generale, per denominatori di n cifre, si ha:
[(9/10)^(n - 1)](1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < Sn < [(9/10)^(n - 1)](1 + 1/2 + ... + 1/8)
I limiti della serie perciò sono:
8/9 + (1/2 + 1/3 + ... + 1/9)Sommatoria(da n = 1 a inf)(9/10)^(n - 1) < S < (1 + 1/2 + ... + 1/8)Sommatoria(da n = 1 a inf)(9/10)^(n - 1)
Essendo la somma della serie geometrica di ragione 9/10 uguale a 10 si ha:
8/9 + 10(1/2 + 1/3 + ... + 1/9) < S < 10(1 + 1/2 + ... + 1/8)
Eseguendo le somme si trova:
537/28 < S < 761/28
Approssimando si ottiene infine:
19,17 < S < 27,18.
Ho trovato la seguente pagina:
http://www.qbyte.org/puzzles/p072s.html
In essa è riportata la somma della serie armonica mancante di una determinata cifra.
La somma della serie senza la cifra 9 è 22,92067.
http://www.qbyte.org/puzzles/p072s.html
In essa è riportata la somma della serie armonica mancante di una determinata cifra.
La somma della serie senza la cifra 9 è 22,92067.
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