Una scacchiera un po' particolare
Alle pedine che vedete in figura sono permesse solo due mosse:
- lo spostamento verso una casella adiacente (per un lato), a condizione che quest’ultima sia libera;
- il salto di una pedina situata in una casella adiacente (per un lato), qualunque sia il suo colore, a condizione che la casella situata immediatamente al di là della pedina saltata sia libera. In quante mosse, al minimo, si possono scambiare le pedine bianche con quelle nere?
(giochi d'autunno 2015 / Non ancora disponibile la soluzione. Vorrei un confronto con la mia
)
- lo spostamento verso una casella adiacente (per un lato), a condizione che quest’ultima sia libera;
- il salto di una pedina situata in una casella adiacente (per un lato), qualunque sia il suo colore, a condizione che la casella situata immediatamente al di là della pedina saltata sia libera. In quante mosse, al minimo, si possono scambiare le pedine bianche con quelle nere?
(giochi d'autunno 2015 / Non ancora disponibile la soluzione. Vorrei un confronto con la mia
)
Risposte
Ho una soluzione in $15$ mosse, che dici?
Cordialmente, Alex
P.S.: conosco una versione più ampia dove i due quadrati sono $3 xx 3$ e le pedine $16$
Cordialmente, Alex
P.S.: conosco una versione più ampia dove i due quadrati sono $3 xx 3$ e le pedine $16$
Grazie...preciso come al solito... 
Rimango un po' dubbiosa, i giochi della Bocconi presentano sempre qualche trabocchetto.
Anche ai ragazzi viene la stessa soluzione...appena il Centro PRISTEM pubblica classifiche e risultati controllo.
Ciao
Rimango un po' dubbiosa, i giochi della Bocconi presentano sempre qualche trabocchetto.
Anche ai ragazzi viene la stessa soluzione...appena il Centro PRISTEM pubblica classifiche e risultati controllo.
Ciao
Chi vuole può cimentarsi con la versione più "grande" (di cui riporto un'immagine):
In questa versione c'è un vincolo in più: le bianche possono muoversi solo verso destra o verso il basso, le nere solo verso l'alto o verso sinistra (in pratica non possono retrocedere).
Qual è il numero minimo di mosse per scambiarle di posto?
Cordialmente, Alex
In questa versione c'è un vincolo in più: le bianche possono muoversi solo verso destra o verso il basso, le nere solo verso l'alto o verso sinistra (in pratica non possono retrocedere).
Qual è il numero minimo di mosse per scambiarle di posto?
Cordialmente, Alex
48, sono troppe?
Melba
Melba
Sì.
La tua soluzione è simmetrica? So che una soluzione simmetrica in $48$ mosse è stata ritenuta per diverso tempo come la minima possibile ma poi qualcuno ha fatto meglio ...
La tua soluzione è simmetrica? So che una soluzione simmetrica in $48$ mosse è stata ritenuta per diverso tempo come la minima possibile ma poi qualcuno ha fatto meglio ...
No, non è simmetrica:
c4, c2, c1, c3, d3, b3, a3, c3, e3, d3, b3, c3, c5, b5, b3, b4, c4, c2, e2, e1, e3, d3, c3, c2, e2, e3, d3, b3, c3, c5, a5, a3, a4, c4, c2, d2, d3, d1, c1, c3, c5, c4, c2, c3, a3, b3, d3, c3.
c4, c2, c1, c3, d3, b3, a3, c3, e3, d3, b3, c3, c5, b5, b3, b4, c4, c2, e2, e1, e3, d3, c3, c2, e2, e3, d3, b3, c3, c5, a5, a3, a4, c4, c2, d2, d3, d1, c1, c3, c5, c4, c2, c3, a3, b3, d3, c3.
Dopo molti tentativi scendo a 47 mosse:
c2, c4, c5, c3, d3, b3, a3, c3, c1, c2, c4, c3, e3, e1, c1, d1,
d3, b3, b5, a5, c5, c3, c1, c2, d2, d3, b3, b5, c5, c3, b3, b4,
a4, c4, c2, e2, d2, d3, b3, b4, c4, c2, c3, e3, d3, b3, c3.
Buon anno!
Melba
c2, c4, c5, c3, d3, b3, a3, c3, c1, c2, c4, c3, e3, e1, c1, d1,
d3, b3, b5, a5, c5, c3, c1, c2, d2, d3, b3, b5, c5, c3, b3, b4,
a4, c4, c2, e2, d2, d3, b3, b4, c4, c2, c3, e3, d3, b3, c3.
Buon anno!
Melba
Buon anno anche a te! 
Sei veramente molto bravo ma ... c'è ancora un passo di troppo ...
Cordialmente, Alex
Sei veramente molto bravo ma ... c'è ancora un passo di troppo ...
Cordialmente, Alex
cioè 46?
D3, B3, A3, C3, C4, C2, C1,C3, C5 C4, C2,C3, E3, E2, C2, D2,
D3, B3, B5, C5, A5, A3, C3, C5, C4, C2, C3, E3, E1, C1, D1, D3,
B3, B4, C4, A4, A3, C3, E3, D3, B3, C3, C1, C2, C4, C3
saluti
Melba
D3, B3, A3, C3, C4, C2, C1,C3, C5 C4, C2,C3, E3, E2, C2, D2,
D3, B3, B5, C5, A5, A3, C3, C5, C4, C2, C3, E3, E1, C1, D1, D3,
B3, B4, C4, A4, A3, C3, E3, D3, B3, C3, C1, C2, C4, C3
saluti
Melba
Sei grande!
Quanta pazienza ...
La mia soluzione è questa $d3,b3,a3,c3,c2,c4,c5,c3,c1,d1,d3,b3,c3,e3,e2,c2,c4,b4,b3,b4,a5,a3,c3,e3,e1,d1,d3,d2,c2,c4,a4,a3,c3,d3,b3,b5,c5,c3,c1,c2,c4,c3,e3,d3,b3,c3.$
È "quasi" simmetrica ...
Le prime $22$ mosse sono ripetute al contrario dopo la ventitreesima ma usando la casella "simmetrica"; si riesce a visualizzarlo facilmente se si usa una notazione diversa: le caselle dove si trovano le bianche vanno denominate da $a$ a $h$, da sinistra a destra e dall'alto in basso mentre le nere vanno denominate "al contrario" da $H$ a $A$ sempre nello stesso senso mentre per la casella centrale puoi usare un simbolo qualsiasi come l'asterisco.
Per esempio $d=a4$ e $h=b3$ tra le bianche e $H=d3$ e $D=e2$ tra le nere.
Bravo!
Cordialmente, Alex
Quanta pazienza ...
La mia soluzione è questa $d3,b3,a3,c3,c2,c4,c5,c3,c1,d1,d3,b3,c3,e3,e2,c2,c4,b4,b3,b4,a5,a3,c3,e3,e1,d1,d3,d2,c2,c4,a4,a3,c3,d3,b3,b5,c5,c3,c1,c2,c4,c3,e3,d3,b3,c3.$
È "quasi" simmetrica ...
Le prime $22$ mosse sono ripetute al contrario dopo la ventitreesima ma usando la casella "simmetrica"; si riesce a visualizzarlo facilmente se si usa una notazione diversa: le caselle dove si trovano le bianche vanno denominate da $a$ a $h$, da sinistra a destra e dall'alto in basso mentre le nere vanno denominate "al contrario" da $H$ a $A$ sempre nello stesso senso mentre per la casella centrale puoi usare un simbolo qualsiasi come l'asterisco.
Per esempio $d=a4$ e $h=b3$ tra le bianche e $H=d3$ e $D=e2$ tra le nere.
Bravo!
Cordialmente, Alex
Bravo tu! La tua soluzione è molto bella! (la 20a mossa dovrebbe essere b5 e non b4 se non sbaglio).
Mi sembra perfettamente simmetrica se si considera la posizione di partenza (c3), seguendo le tue istruzioni si ha
*,H,h,g,*,F,f,c,*,C,B,H,h,*,G,D,F,f,e,h,b,a,g,*,G,A,B,H,E,F,f,d,g,*,H,h,b,c,*,C,F,f,*,G,H,h,*
E' interessante notare che la varie caselle vengono liberate
a e A 1 volta ciascuna
b e B 1 volta
c e C 2 volte
d e D 1 volta
e e E 1 volta
f e F 4 volte
g e G 3 volte
h e H 5 volte
* 9 volte
potrebbe essere utile per dimostrare che il numero minimo di mosse è 46?
saluti
Melba
Mi sembra perfettamente simmetrica se si considera la posizione di partenza (c3), seguendo le tue istruzioni si ha
*,H,h,g,*,F,f,c,*,C,B,H,h,*,G,D,F,f,e,h,b,a,g,*,G,A,B,H,E,F,f,d,g,*,H,h,b,c,*,C,F,f,*,G,H,h,*
E' interessante notare che la varie caselle vengono liberate
a e A 1 volta ciascuna
b e B 1 volta
c e C 2 volte
d e D 1 volta
e e E 1 volta
f e F 4 volte
g e G 3 volte
h e H 5 volte
* 9 volte
potrebbe essere utile per dimostrare che il numero minimo di mosse è 46?
saluti
Melba
"melba":
... (la 20a mossa dovrebbe essere b5 e non b4 se non sbaglio). ...
Sì, ho sbagliato a trascrivere sul forum ...
Cordialmente, Alex
Ho trovato una soluzione in 124 mosse per la scacchiera 4x4:
d5,d3,d2,d4,e4,c4,c5,d5,d4,c4,c6,c5,d5,d3,e3,e4,e2,d2,d4,d6,d7,c7,c5,d5,d3,d1,e1,e2,d2,d4,
d6,d7,d5,d3,d1,d2,d4,d6,d5,d3,d4,e4,c4,b4,b5,d5,d4,f4,g4,e4,c4,b4,b6,b7,d7,d6,d4,f4,f3,g3,
e3,e4,c4,b4,b6,d6,d4,f4,f3,e3,e4,c4,b4,d4,f4,f2,f1,e1,e2,e4,c4,a4,a5,b5,b4,d4,f4,f2,g2,g1,
g3,g4,e4,c4,a4,a6,a7,b7,b6,b4,d4,f4,f2,g2,g4,e4,c4,a4,a6,b6,b4,d4,f4,f2,e2,e4,c4,a4,b4,d4,
f4,e4,c4,d4.
ma mi sembrano veramente troppe. Che ne dici?
Saluti
Melba
d5,d3,d2,d4,e4,c4,c5,d5,d4,c4,c6,c5,d5,d3,e3,e4,e2,d2,d4,d6,d7,c7,c5,d5,d3,d1,e1,e2,d2,d4,
d6,d7,d5,d3,d1,d2,d4,d6,d5,d3,d4,e4,c4,b4,b5,d5,d4,f4,g4,e4,c4,b4,b6,b7,d7,d6,d4,f4,f3,g3,
e3,e4,c4,b4,b6,d6,d4,f4,f3,e3,e4,c4,b4,d4,f4,f2,f1,e1,e2,e4,c4,a4,a5,b5,b4,d4,f4,f2,g2,g1,
g3,g4,e4,c4,a4,a6,a7,b7,b6,b4,d4,f4,f2,g2,g4,e4,c4,a4,a6,b6,b4,d4,f4,f2,e2,e4,c4,a4,b4,d4,
f4,e4,c4,d4.
ma mi sembrano veramente troppe. Che ne dici?
Saluti
Melba
Sinceramente non saprei che dirti se non che tu mi sopravvaluti (e di parecchio ... ), non ho la tua pazienza e soprattutto la tua capacità ...
Ragionandoci un po' è possibile dimostrare quale sia il numero massimo e minimo di mosse.
Dato che esiste la regola per cui le pedine possono solo "avanzare" allora il numero di passi complessivo è fisso; se prendiamo la pedina più in alto a sinistra e la vogliamo portare nell'angolo in basso a destra (in pratica simmetrica rispetto al centro), essa dovrà compiere $12$ passi qualunque sia il percorso che faccia; lo stesso accade per ciascuna pedina che vogliamo portare nella casella simmetrica (i passi saranno fissi, che siano $10$ o $8$ o così via).
Se la faccio fermare in un'altra casella a caso, non cambia nulla, questo perché la pedina di cui prenderà il posto dovrà fare il percorso che manca alla prima ... il tutto va moltiplicato per due per le pedine dell'altro colore.
Perciò nel nostro caso ($4 xx 4$), i passi complessivi saranno $192$.
Le mosse invece andranno da un massimo di $192$ (se fossero tutti "passi singoli") ad un minimo di $96$ (nel caso fossero tutti salti); in realtà i limiti reali sono più stretti perché in ogni combinazione ci devono essere sia salti che passi singoli.
Continuando a speculare, possiamo osservare che passando dalla scacchiera $3 xx 3$ a quella $4 xx 4$ abbiamo $7$ pedine "di contorno" in più per ogni colore, le quali aggiungono $120$ passi al totale (numero che si può trovare sia contando come fatto prima che facendo la differenza tra le due scacchiere); ciò porterebbe ad "almeno" $60$ mosse in più e quindi ad un totale di $106$.
Questa però è solo una congettura in quanto si dovrebbe dimostrare che nel passaggio di scacchiera le mosse "precedenti" non diminuiscano (anche se io ritengo plausibile che non accada).
Inoltre le $7$ pedine di contorno per "entrare" nella scacchiera "minore" devono compiere $8$ mosse che possono essere doppie ma quelle "interne" per "uscire" ne devono fare $8$ ma come passi singoli (potrebbero uscire anche con un salto ma allora quella di contorno che ha "ceduto il posto" rimarrebbe nella cornice); ciò porta ad ulteriori $13$ mosse e quindi il totale a $119$.
Concludo però riaffermando che sono congetture, ipotesi, per me credibili ma comunque discutibili ... per me non sei lontano dal meglio ... 
Cordialmente, Alex
), non ho la tua pazienza e soprattutto la tua capacità ...Ragionandoci un po' è possibile dimostrare quale sia il numero massimo e minimo di mosse.
Dato che esiste la regola per cui le pedine possono solo "avanzare" allora il numero di passi complessivo è fisso; se prendiamo la pedina più in alto a sinistra e la vogliamo portare nell'angolo in basso a destra (in pratica simmetrica rispetto al centro), essa dovrà compiere $12$ passi qualunque sia il percorso che faccia; lo stesso accade per ciascuna pedina che vogliamo portare nella casella simmetrica (i passi saranno fissi, che siano $10$ o $8$ o così via).
Se la faccio fermare in un'altra casella a caso, non cambia nulla, questo perché la pedina di cui prenderà il posto dovrà fare il percorso che manca alla prima ... il tutto va moltiplicato per due per le pedine dell'altro colore.
Perciò nel nostro caso ($4 xx 4$), i passi complessivi saranno $192$.
Le mosse invece andranno da un massimo di $192$ (se fossero tutti "passi singoli") ad un minimo di $96$ (nel caso fossero tutti salti); in realtà i limiti reali sono più stretti perché in ogni combinazione ci devono essere sia salti che passi singoli.
Continuando a speculare, possiamo osservare che passando dalla scacchiera $3 xx 3$ a quella $4 xx 4$ abbiamo $7$ pedine "di contorno" in più per ogni colore, le quali aggiungono $120$ passi al totale (numero che si può trovare sia contando come fatto prima che facendo la differenza tra le due scacchiere); ciò porterebbe ad "almeno" $60$ mosse in più e quindi ad un totale di $106$.
Questa però è solo una congettura in quanto si dovrebbe dimostrare che nel passaggio di scacchiera le mosse "precedenti" non diminuiscano (anche se io ritengo plausibile che non accada).
Inoltre le $7$ pedine di contorno per "entrare" nella scacchiera "minore" devono compiere $8$ mosse che possono essere doppie ma quelle "interne" per "uscire" ne devono fare $8$ ma come passi singoli (potrebbero uscire anche con un salto ma allora quella di contorno che ha "ceduto il posto" rimarrebbe nella cornice); ciò porta ad ulteriori $13$ mosse e quindi il totale a $119$.
Concludo però riaffermando che sono congetture, ipotesi, per me credibili ma comunque discutibili ... per me non sei lontano dal meglio ...
Cordialmente, Alex
Torno sull'argomento dopo molto tempo perché ho trovato una soluzione in 122 mosse per la 4x4:
e4,c4,b4,d4,d5,d3,d2,d4,c4,c5,b5,d5,d3,e3,e4,c4,c5,d5,d3,d1,
e1,e3,e4,e2,d2,d4,d6,d7,d5,d3,d1,d2,d4,d6,d5,d3,d4,e4,c4,c6,
b6,b7,d7,d5,d4,f4,f3,e3,e4,c4,c6,b6,b4,d4,f4,f2,f1,e1,e2,e4,
c4,c6,c7,d7,d5,d4,f4,f2,e2,e4,c4,c6,a6,b6,b4,d4,f4,g4,g2,e2,
e4,c4,a4,a5,a7,b7,b5,b4,d4,f4,g4,g3,g1,e1,e3,e4,c4,c6,d6,d4,
f4,g4,g3,e3,e4,c4,a4,a5,b5,b4,d4,f4,g4,e4,c4,a4,b4,d4,f4,e4,
c4,d4.
Penso, comunque, che si possa far meglio.
Quanto alla dimostrazione del numero minimo di mosse sono ancora in alto mare con la scaccchiera 3x3.
Ho numerato le pedine da 1 a 8 e dato colori diversi alle due squadre
.
Considerando la squadra nera ho poi calcolato il numero di mosse necessario a spostare le pedine nel campo delle rosse
, sono 19. Se fosse possibile fare lo stesso numero di mosse con l'altra squadra avremmo un totale di 38 mosse. Pare plausibile però che la pedina rossa di cui quella nera prende il posto impieghi una mossa in più per arrivare al suo posto - se così fosse dovremmo aggiungere altre 8 mosse per un totale di 46 - ma come dimostrarlo?
Saluti
Melba
e4,c4,b4,d4,d5,d3,d2,d4,c4,c5,b5,d5,d3,e3,e4,c4,c5,d5,d3,d1,
e1,e3,e4,e2,d2,d4,d6,d7,d5,d3,d1,d2,d4,d6,d5,d3,d4,e4,c4,c6,
b6,b7,d7,d5,d4,f4,f3,e3,e4,c4,c6,b6,b4,d4,f4,f2,f1,e1,e2,e4,
c4,c6,c7,d7,d5,d4,f4,f2,e2,e4,c4,c6,a6,b6,b4,d4,f4,g4,g2,e2,
e4,c4,a4,a5,a7,b7,b5,b4,d4,f4,g4,g3,g1,e1,e3,e4,c4,c6,d6,d4,
f4,g4,g3,e3,e4,c4,a4,a5,b5,b4,d4,f4,g4,e4,c4,a4,b4,d4,f4,e4,
c4,d4.
Penso, comunque, che si possa far meglio.
Quanto alla dimostrazione del numero minimo di mosse sono ancora in alto mare con la scaccchiera 3x3.
Ho numerato le pedine da 1 a 8 e dato colori diversi alle due squadre
.Considerando la squadra nera ho poi calcolato il numero di mosse necessario a spostare le pedine nel campo delle rosse
, sono 19. Se fosse possibile fare lo stesso numero di mosse con l'altra squadra avremmo un totale di 38 mosse. Pare plausibile però che la pedina rossa di cui quella nera prende il posto impieghi una mossa in più per arrivare al suo posto - se così fosse dovremmo aggiungere altre 8 mosse per un totale di 46 - ma come dimostrarlo?Saluti
Melba
Col computer
Se trovi qualcuno che riesca a simulare il gioco ... dato il tipo di mosse e la grandezza della scacchiera non dovrebbe essere un impresa impossibile però comunque molto impegnativa ...
Cordialmente, Alex
Se trovi qualcuno che riesca a simulare il gioco ... dato il tipo di mosse e la grandezza della scacchiera non dovrebbe essere un impresa impossibile però comunque molto impegnativa ...
Cordialmente, Alex
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