Una divisione
Cordialmente, Alex
Risposte
Hai ragione, non so perché mi sono fissato fosse così ... forse perché la prima e la terza cifra del quoziente sono minori di quattro allora, per converso, $f$ doveva andare al contrario ... 
Ciao Alex ciao melba secondo me invece Alex ragiona bene non sono d'accordo con quanto dici tu melba ... ci rifletterei, se la prima e terza cifra del quoziente non possono eccedere 3 ed inoltre (3 * Divisore) = *4* oltre che (4 * Divisore) = **** (ossia >= 1000) l'ultima cifra del quoziente non può essere minore di 4 ... ergo è definitivamente >=4 ... o no?
questi sono giochi che mi appassionano molto e richiedono pochi calcoli ma tante deduzioni e bisognerebbe postarne altri ...
Un caro saluto a tutti. Claudio.
questi sono giochi che mi appassionano molto e richiedono pochi calcoli ma tante deduzioni e bisognerebbe postarne altri ...
Un caro saluto a tutti. Claudio.
"Maryana67":
... secondo me invece Alex ragiona bene ...
Grazie, grazie ...
... peccato abbia ragione Melba ... 
È vero che la prima e la terza cifra del quoziente sono minori di quattro ed è pure vero che il prodotto del divisore per queste cifre è minore di mille ma questo NON implica che una di queste due debba essere uguale a $3$: "può" essere uguale a $3$, non "deve" ... sta qui il mio errore ... difatti se guardi le soluzioni in quelle posizioni ci sono due $1$, se ci fosse stato un tre il prodotto avrebbe avuto quattro cifre ...
Comunque se ti piacciono cercherò di postarne altri ...
Cordialmente, Alex
... magari grazie Alex, li ritengo molto istruttivi e danno una certa soddisfazione risolverli, però permettimi di dare una mia personale visione ... poniamo per capirci meglio:
Divisore=D=abc e Quoziente=Q=d4ef.
Direttamente dalla lettura dello linee dello schema si evince che sia e che d si comportano in modo molto "simile", al punto che una volta appurato che entrambe le cifre non possono eccedere 3, per così dire "schiacciate" dalla cifra nota 4 di Q si può cercare di ragionare sul fatto che forse le possibilità per la coppia (e,d) non sono 3x3=9 ma solo 3. E vediamo come e dove sbaglio e se sbaglio fatemi un "fischio"
: ora fermo restando che le vie per risolvere questo tipo di giochi sono tante, io ho ragionato a mio modo così come segue:
E' evidente che e * D < 1000, lo stesso vale per d, quindi d * D < 1000 mentre per l'ultima linea si ha anche che f * D >= 1000. Ora però osservando meglio si trova facilmente (guardando anche ai resti che sono tutti a 3 cifre) che: (e + 1) * D >= 1000 e lo stesso vale anche per d ossia si ha che: (d + 1) * D >= 1000. Ora dato che l'insieme dei valori possibili per la cifra e è lo stesso insieme che per d e cioè 1,2 o 3 (escludendo lo zero per ovvi motivi), si può dedurre che non può mai essere e > d ma anche nemmeno d > e quindi se ne conclude che e = d. E ciò credo si possa evincere a prescindere direttamente da come è fatto lo schema ossia ancor prima di aver provato ad escludere prima il caso e=3 e poi quello e=2... poi dopo aver esaurito queste possibilità (e bisogna farlo) rimane solo che e=d=1. Vabbè qualche passaggio forse l'ho saltato ma non è qui mia intenzione dare delle soluzioni per intero. Spero comunque possa essere solo un'idea utile per trovare la propria "strada" facendo (ed è questo il bello) il numero minimo di tentativi, prove e calcoli. Spero anche ovviamente che quanto "pensato" non abbia qualche lacuna dal punto di vista logico formale. Bah chissà ... 
... ah dimenticavo una cosa importante, il fatto che f non può essere minore di 4. Su questo sono d'accordo con Alex, lo si può affermare solo dopo aver fatto qualche ragionamento o singolarmente nelle ipotesi per assurdo che sia e=3 ovvero e=2 e trovando una qualche contraddizione nello schema ... buon divertimento a tutti ...
bye bye
P.S. devo sempre imparare ad usare il LaTex scusate ...
Divisore=D=abc e Quoziente=Q=d4ef.
Direttamente dalla lettura dello linee dello schema si evince che sia e che d si comportano in modo molto "simile", al punto che una volta appurato che entrambe le cifre non possono eccedere 3, per così dire "schiacciate" dalla cifra nota 4 di Q si può cercare di ragionare sul fatto che forse le possibilità per la coppia (e,d) non sono 3x3=9 ma solo 3. E vediamo come e dove sbaglio e se sbaglio fatemi un "fischio"
: ora fermo restando che le vie per risolvere questo tipo di giochi sono tante, io ho ragionato a mio modo così come segue:E' evidente che e * D < 1000, lo stesso vale per d, quindi d * D < 1000 mentre per l'ultima linea si ha anche che f * D >= 1000. Ora però osservando meglio si trova facilmente (guardando anche ai resti che sono tutti a 3 cifre) che: (e + 1) * D >= 1000 e lo stesso vale anche per d ossia si ha che: (d + 1) * D >= 1000. Ora dato che l'insieme dei valori possibili per la cifra e è lo stesso insieme che per d e cioè 1,2 o 3 (escludendo lo zero per ovvi motivi), si può dedurre che non può mai essere e > d ma anche nemmeno d > e quindi se ne conclude che e = d. E ciò credo si possa evincere a prescindere direttamente da come è fatto lo schema ossia ancor prima di aver provato ad escludere prima il caso e=3 e poi quello e=2... poi dopo aver esaurito queste possibilità (e bisogna farlo) rimane solo che e=d=1. Vabbè qualche passaggio forse l'ho saltato ma non è qui mia intenzione dare delle soluzioni per intero. Spero comunque possa essere solo un'idea utile per trovare la propria "strada" facendo (ed è questo il bello) il numero minimo di tentativi, prove e calcoli. Spero anche ovviamente che quanto "pensato" non abbia qualche lacuna dal punto di vista logico formale. Bah chissà ...
... ah dimenticavo una cosa importante, il fatto che f non può essere minore di 4. Su questo sono d'accordo con Alex, lo si può affermare solo dopo aver fatto qualche ragionamento o singolarmente nelle ipotesi per assurdo che sia e=3 ovvero e=2 e trovando una qualche contraddizione nello schema ... buon divertimento a tutti ...
bye bye
P.S. devo sempre imparare ad usare il LaTex scusate ...
Secondo me come punto di partenza ci sono 12 affermazioni possibili:
1) il divisore deve essere maggiore o uguale a 250 (per poter dare un risultato a 4 cifre nella 2a moltiplicazione)
2) la prima cifra del quoto deve essere minore di 4 (per dare un risultato a tre cifre nella 2a moltiplicazione)
3) la terza cifra del quoto deve essere minore di 4 (per dare un risultato a tre cifre nella 4a moltiplicazione)
4) la 2a moltiplicazione deve dare un numero inferiore a 3996 (999 x 4)
5) la prima sottrazione deve dare un numero inferiore 494
6) le prime 4 cifre del dividendo non possono superare 1493
7) la 4a moltiplicazione deve dare un numero inferiore o uguale a 8984 (e superiore a 999 per quanto detto a 3)
8) l'ultima cifra del quoto non può essere 1 (per dare un risultato a 4 cifre nella 4a moltiplicazione)
9) se la prima cifra del divisore è superiore a 4 la 1a e la 3a cifra del quoto è 1
10) se la prima cifra del divisore è inferiore a 4 la 1a e la 3a cifra del quoto possono essere 2 o 3
11) se la prima cifra del divisore è uguale a 4 la 1a e la 3a cifra del quoto è 2
12) se la prima cifra del divisore è superiore a 3 la 1a e la 3a cifra del quoto sono uguali
se si potesse dimostrare che la prima cifra del divisore non può essere né 2 né 3 si otterrebbe una notevole semplificazione,
ma il ragionamento di Claudio
Se e * D < 1000 non necessariamente e + 1 > 1000.
Mi pare quindi che non si possa fare a meno di prendere in considerazione le varie coppie di c-f a questo punto...
Saluti
Melba
1) il divisore deve essere maggiore o uguale a 250 (per poter dare un risultato a 4 cifre nella 2a moltiplicazione)
2) la prima cifra del quoto deve essere minore di 4 (per dare un risultato a tre cifre nella 2a moltiplicazione)
3) la terza cifra del quoto deve essere minore di 4 (per dare un risultato a tre cifre nella 4a moltiplicazione)
4) la 2a moltiplicazione deve dare un numero inferiore a 3996 (999 x 4)
5) la prima sottrazione deve dare un numero inferiore 494
6) le prime 4 cifre del dividendo non possono superare 1493
7) la 4a moltiplicazione deve dare un numero inferiore o uguale a 8984 (e superiore a 999 per quanto detto a 3)
8) l'ultima cifra del quoto non può essere 1 (per dare un risultato a 4 cifre nella 4a moltiplicazione)
9) se la prima cifra del divisore è superiore a 4 la 1a e la 3a cifra del quoto è 1
10) se la prima cifra del divisore è inferiore a 4 la 1a e la 3a cifra del quoto possono essere 2 o 3
11) se la prima cifra del divisore è uguale a 4 la 1a e la 3a cifra del quoto è 2
12) se la prima cifra del divisore è superiore a 3 la 1a e la 3a cifra del quoto sono uguali
se si potesse dimostrare che la prima cifra del divisore non può essere né 2 né 3 si otterrebbe una notevole semplificazione,
ma il ragionamento di Claudio
... si trova facilmente (guardando anche ai resti che sono tutti a 3 cifre) che: (e + 1) * D >= 1000 e lo stesso vale anche per d ossia si ha che: (d + 1) * D >= 1000.non mi sembra corretto.
Se e * D < 1000 non necessariamente e + 1 > 1000.
Mi pare quindi che non si possa fare a meno di prendere in considerazione le varie coppie di c-f a questo punto...
Saluti
Melba
Scusate volevo dire
Se e * D < 1000 non necessariamente e + 1 * D >= 1000.
Melba
Se e * D < 1000 non necessariamente e + 1 * D >= 1000.
Melba
Qualche commento alle due ultime mail di Melba:
penultima mail:
punto 1) il divisore deve essere maggiore di 290. infatti il quoto vale al massimo 3439.
Inoltre la seconda cifra deve essere diversa da 9 (utilizzo la convenzione divisore=abc quoto=d4ef:
d*c ha un massimo riporto di 2; d*9=9,18,27;
in nessun caso la seconda cifra di d*abc risulta uguale a 4).
per lo stesso motivo si esclude 0 come secona cifra.
Quindi il divisore deve essere > 310.
ultima mail:
(e+1)*D deve essere > 1000 , infatti
ef*D>10000 (penultimo resto) , ed
(e+1)*10*D > ef*D > 10000
questo tra l'altro comporta d=e, applicando simile ragionamento a d.
Ciao,
Marmi
penultima mail:
punto 1) il divisore deve essere maggiore di 290. infatti il quoto vale al massimo 3439.
Inoltre la seconda cifra deve essere diversa da 9 (utilizzo la convenzione divisore=abc quoto=d4ef:
d*c ha un massimo riporto di 2; d*9=9,18,27;
in nessun caso la seconda cifra di d*abc risulta uguale a 4).
per lo stesso motivo si esclude 0 come secona cifra.
Quindi il divisore deve essere > 310.
ultima mail:
(e+1)*D deve essere > 1000 , infatti
ef*D>10000 (penultimo resto) , ed
(e+1)*10*D > ef*D > 10000
questo tra l'altro comporta d=e, applicando simile ragionamento a d.
Ciao,
Marmi
Credo di dover delle risposte a Melba...
... uso sempre le stesse lettere e numero da 1 a 8 tutte le linee della divisione (esclusi i tratti).
Sul fatto che sia e che d siano definitivamente minori di 4 siamo tutti d'accordo.
Togliamo invece ogni dubbio su f facendo ipotesi solo su e ma sappiamo che d assume lo stesso insieme di valori.
- Se e = 3 allora f>=4;
- Se e = 2 allora f>=3;
- Se e = 1 allora f>=2;
Ora veniamo al fatto che deve essere e=d.
Osservando le linee (1), (2) e (3) poste a confronto con le linee (5), (6) e (7) queste ci dicono che la prima e terza cifra di Q (ossia la cifra d e la cifra e del QUOZIENTE Q) si comportano in modo molto simile quando devono dividere il corrispondente numero a 4 cifre. In particolare osservo che quando ciò accade, per le prime quattro cifre della linea (1) come anche sulla linea (5) la divisione fornisce in entrambe i casi, sia come risultato del prodotto parziale per il DIVISORE, sia come RESTO della divisione numeri che hanno sempre solo 3 cifre. (intendo le prime tre cifre della linea (3) e della linea (7)).
Quindi volendo assegnare dei nomi a questi resti definiamo che per:
- RESTO(d) si intenda il numero pari alle prime tre cifre della linea (3);
- RESTO(e) si intenda il numero pari alle prime tre cifre della linea (7);
Quanto ho detto ed osservato lo possiamo formalmente riscrivere in queste due chiare proposizioni:
(1) (d + 1) * D = (d * D) + D ≥ (d * D) + RESTO(d) ≥ 1000;
(2) (e + 1) * D = (e * D) + D ≥ (e * D) + RESTO(e) ≥ 1000;
Ora se per ipotesi si avesse d > e ovvero e > d (ossia che: 0 < | d - e | ≤ 2) si dovrebbe concludere che rispettivamente i prodotti (d * D) ovvero (e * D), in considerazione della (1) e della (2), sarebbero in almeno un caso alternato, non minori di 1000. Ma questo è in contraddizione alla semplice osservazione dello schema stesso che ci assicura che questi prodotti, entrambi e contestualmente, devono essere minori di 1000.
Si conclude pertanto che deve essere e = d. Quindi e = d oltre che l'insieme delle coppie possibili devono essere le seguenti coppie di cifre: {(e,d)} = {(1,1);(2,2);(3,3)}.
Sperando di essere stato utile saluto e ringrazio tutti.
... uso sempre le stesse lettere e numero da 1 a 8 tutte le linee della divisione (esclusi i tratti).
Sul fatto che sia e che d siano definitivamente minori di 4 siamo tutti d'accordo.
Togliamo invece ogni dubbio su f facendo ipotesi solo su e ma sappiamo che d assume lo stesso insieme di valori.
- Se e = 3 allora f>=4;
- Se e = 2 allora f>=3;
- Se e = 1 allora f>=2;
Ora veniamo al fatto che deve essere e=d.
Osservando le linee (1), (2) e (3) poste a confronto con le linee (5), (6) e (7) queste ci dicono che la prima e terza cifra di Q (ossia la cifra d e la cifra e del QUOZIENTE Q) si comportano in modo molto simile quando devono dividere il corrispondente numero a 4 cifre. In particolare osservo che quando ciò accade, per le prime quattro cifre della linea (1) come anche sulla linea (5) la divisione fornisce in entrambe i casi, sia come risultato del prodotto parziale per il DIVISORE, sia come RESTO della divisione numeri che hanno sempre solo 3 cifre. (intendo le prime tre cifre della linea (3) e della linea (7)).
Quindi volendo assegnare dei nomi a questi resti definiamo che per:
- RESTO(d) si intenda il numero pari alle prime tre cifre della linea (3);
- RESTO(e) si intenda il numero pari alle prime tre cifre della linea (7);
Quanto ho detto ed osservato lo possiamo formalmente riscrivere in queste due chiare proposizioni:
(1) (d + 1) * D = (d * D) + D ≥ (d * D) + RESTO(d) ≥ 1000;
(2) (e + 1) * D = (e * D) + D ≥ (e * D) + RESTO(e) ≥ 1000;
Ora se per ipotesi si avesse d > e ovvero e > d (ossia che: 0 < | d - e | ≤ 2) si dovrebbe concludere che rispettivamente i prodotti (d * D) ovvero (e * D), in considerazione della (1) e della (2), sarebbero in almeno un caso alternato, non minori di 1000. Ma questo è in contraddizione alla semplice osservazione dello schema stesso che ci assicura che questi prodotti, entrambi e contestualmente, devono essere minori di 1000.
Si conclude pertanto che deve essere e = d. Quindi e = d oltre che l'insieme delle coppie possibili devono essere le seguenti coppie di cifre: {(e,d)} = {(1,1);(2,2);(3,3)}.
Sperando di essere stato utile saluto e ringrazio tutti.
a Marmi e Claudio
Ok, avete ragione (d+1)*D > 1000 e d=e.
Grazie dei chiarimenti.
Saluti
Melba
Ok, avete ragione (d+1)*D > 1000 e d=e.
Grazie dei chiarimenti.
Saluti
Melba
Ciao a tutti,
non mi e' ancora chiaro come si sfrutta il 4 come 3a cifra della 3a linea.
Ciao,
Marmi
non mi e' ancora chiaro come si sfrutta il 4 come 3a cifra della 3a linea.
Ciao,
Marmi
Secondo me il 4 della 3a linea - per quanto importante - può essere utilizzato solo in seconda battuta derivando da una sottrazione, mentre quello della 6a linea ci dà indicazioni utili su i valori da attribuire a b, c e d e può essere la chiave per dimostrare che d=e=1. Mi spiego meglio.
Sappiamo che d=e, quindi chiamerò d la 3a cifra del quoto (come la 1a), e che può essere 1, 2 o 3.
Il 4 della 6a linea è dato dalla seconda cifra di b*d + l'eventuale riporto di c*d.
I possibili riporti di c*d sono: 0, 1 e 2. Nel caso che il riporto sia 0 b=4 e d=1.
Nel caso che il riporto sia 1 la seconda cifra del prodotto b*d dev'essere 3, quindi possiamo avere queste combinazioni:
1*3, 3*1, 7*9, 9*7, gli ultimi due casi sono esclusi dalla condizione d<4, per il secondo caso d=1 non esiste un c che dia riporto, per il primo caso d=3 abbiamo c=4 o c= 6. Con c=4 abbiamo f=1 o f=6. Escludiamo f=1 perché darebbe un risultato a tre cifre nell'ultima moltiplicazione. con f=6 abbiamo questa situazione:
dopo la prima moltiplicazione (2a linea) si vede già che le cose non tornano con il 4 della 3a linea.
Con c=6 abbiamo f=4 o f=9
tutti e due da escludere perché non danno 4 come 3a cifra nella 3a linea.
Per il riporto uguale a 2 devo ancora lavorarci...
Saluti
Melba
Sappiamo che d=e, quindi chiamerò d la 3a cifra del quoto (come la 1a), e che può essere 1, 2 o 3.
Il 4 della 6a linea è dato dalla seconda cifra di b*d + l'eventuale riporto di c*d.
I possibili riporti di c*d sono: 0, 1 e 2. Nel caso che il riporto sia 0 b=4 e d=1.
Nel caso che il riporto sia 1 la seconda cifra del prodotto b*d dev'essere 3, quindi possiamo avere queste combinazioni:
1*3, 3*1, 7*9, 9*7, gli ultimi due casi sono esclusi dalla condizione d<4, per il secondo caso d=1 non esiste un c che dia riporto, per il primo caso d=3 abbiamo c=4 o c= 6. Con c=4 abbiamo f=1 o f=6. Escludiamo f=1 perché darebbe un risultato a tre cifre nell'ultima moltiplicazione. con f=6 abbiamo questa situazione:
dopo la prima moltiplicazione (2a linea) si vede già che le cose non tornano con il 4 della 3a linea.
Con c=6 abbiamo f=4 o f=9
tutti e due da escludere perché non danno 4 come 3a cifra nella 3a linea.
Per il riporto uguale a 2 devo ancora lavorarci...
Saluti
Melba
Ciao Melba.
Mi chiedevo se esiste una strada senza dover eseguire il prodotto $abc \cdot d4df$.
Riguardo al riporto 2 (per il caso $d=3$), deve essere $b>=7$ . Impossibe per $d \cdot abc < 1000$.
I casi con $d=3$ mi risultano essere 3: quelli che riporti.
Il problema sono i casi $d=1, d=2$. A me risultano altri 38.
Ciao,
Marmi
Mi chiedevo se esiste una strada senza dover eseguire il prodotto $abc \cdot d4df$.
Riguardo al riporto 2 (per il caso $d=3$), deve essere $b>=7$ . Impossibe per $d \cdot abc < 1000$.
I casi con $d=3$ mi risultano essere 3: quelli che riporti.
Il problema sono i casi $d=1, d=2$. A me risultano altri 38.
Ciao,
Marmi
Ciao Marmi.
Non vedo come evitare di eseguire il prodotto. Prima però si può arrivare a definire b e d.
Nel caso che il riporto sia 2 il prodotto b*d dev'essere 2 o x2, dove x è la cifra delle decine, quindi possiamo avere queste combinazioni:1*2, 2*1, 2*6, 3*4, 4*3, 4*8, 6*2, 8*4, 8*9, 9*8 per la condizione d<4 rimangono 1*2, 2*1, 4*3, 6*2.
1*2, 2*1 e 6*2 si escludono perché, per poter dare un riporto di 2 nel prodotto c*d, d deve essere maggiore o uguale a 3.
4*3 richiede c=9 e di conseguenza f=6 e a =2 da cui risulta un dividendo troppo picccolo.
Quindi sia il riporto 1 che il riporto 2 sono da escludere e rimane solo il riporto 0, ossia b=4 e d=1 ne risulta
ora non resta che considerare le varie possibili coppie c-f che sono 12. Escludendo quella 4-1, perché f deve essere maggiore di 1 per dare le 4 cifre richieste nella 4a moltiplicazione, e tenendo presente a>6, per ottenere un dividento superiore alle 6 cifre si ha il seguente quadro:
le 4 soluzioni in rosso sono le uniche che danno 4 come terza cifra della prima sottrazione e sono anche le uniche soluzioni della divisione.
Saluti a tutti
Melba
Non vedo come evitare di eseguire il prodotto. Prima però si può arrivare a definire b e d.
Nel caso che il riporto sia 2 il prodotto b*d dev'essere 2 o x2, dove x è la cifra delle decine, quindi possiamo avere queste combinazioni:1*2, 2*1, 2*6, 3*4, 4*3, 4*8, 6*2, 8*4, 8*9, 9*8 per la condizione d<4 rimangono 1*2, 2*1, 4*3, 6*2.
1*2, 2*1 e 6*2 si escludono perché, per poter dare un riporto di 2 nel prodotto c*d, d deve essere maggiore o uguale a 3.
4*3 richiede c=9 e di conseguenza f=6 e a =2 da cui risulta un dividendo troppo picccolo.
Quindi sia il riporto 1 che il riporto 2 sono da escludere e rimane solo il riporto 0, ossia b=4 e d=1 ne risulta
ora non resta che considerare le varie possibili coppie c-f che sono 12. Escludendo quella 4-1, perché f deve essere maggiore di 1 per dare le 4 cifre richieste nella 4a moltiplicazione, e tenendo presente a>6, per ottenere un dividento superiore alle 6 cifre si ha il seguente quadro:
le 4 soluzioni in rosso sono le uniche che danno 4 come terza cifra della prima sottrazione e sono anche le uniche soluzioni della divisione.
Saluti a tutti
Melba
Scusate devo correggere due errori, anche se non alterano il risultato. Nella coppia 2-7 il quoto è ovviamente 1417 e non 1414 come ho scritto nel caso dei divisori 842 e 942.
Mi sono poi accorto che si può escludere a=7 perché altrimenti nella 3a sottrazione non si potrebbe avere 1 come prima cifra. Quindi a>7. Il che rende molto più snella la cosa: i casi si riducono a 22:
Saluti
Melba
Mi sono poi accorto che si può escludere a=7 perché altrimenti nella 3a sottrazione non si potrebbe avere 1 come prima cifra. Quindi a>7. Il che rende molto più snella la cosa: i casi si riducono a 22:
Saluti
Melba
A me pare che a=7 sia permesso per f>3.
Perché 74c * 14 > 10000
Ciao,
Marmi
Perché 74c * 14 > 10000
Ciao,
Marmi
Hai ragione!
Comunque a=7 è escluso dal fatto che la 2a cifra del risultato della 2a sottrazione è maggiore di 5, quando a=7, e di conseguenza la 1a cifra del risultato della 3a sottrazione maggiore di 7, cosa che rende impossibile un risultato a zero nell'ultima sottrazione.
Melba
Comunque a=7 è escluso dal fatto che la 2a cifra del risultato della 2a sottrazione è maggiore di 5, quando a=7, e di conseguenza la 1a cifra del risultato della 3a sottrazione maggiore di 7, cosa che rende impossibile un risultato a zero nell'ultima sottrazione.
Melba
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