Una disuguaglianza, non nuova ma sempre interessante

[Bruno13]

Per ogni n intero e positivo, si ha:



Può essere che il problema sia già stato trattato in questo forum,
ma non so come verificarlo. Se è così, vi chiedo gentilmente di
dirmi dove posso trovare il topic (ancora aperto) che lo ospita.

Un saluto a tutti!

[giuseppe87x]

Prova ad andare per induzione.

[Bruno13]

In effetti, credo di aver già trovato una soluzione e per questo
volevo proporre la questione anche a voi.
L'unico mio dubbio era legato al fatto che il problema fosse già
stato trattato da voi, che insomma avesse in questo forum una
discussione ancora aperta (volevo giusto evitare dei doppioni).
Grazie comunque per avermi risposto, Giuseppe87x!
Tu dicevi di affrontarlo per induzione?
M'interessa molto sapere come faresti.

[giuseppe87x]

Mah, ho provato oggi pomeriggio ma non sono riuscito a cavarne niente di buono. Ho provato anche con lo sviluppo binomiale ma niente.
Tu come l'hai dimostrato?

[son Goku1]

"Bruno":Per ogni n intero e positivo, si ha:

[...]Un saluto a tutti!

mah... se facciamo $lim_{n to +infty}(sqrt(n^((2+n)/n))-sqrt(n))=0$, quindi da un certo $n$ in poi chiaramente l'espressione nel limite è $

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[Bruno13]

Ti ringrazio tantissimo del tuo intervento, GuillaumedeL'Hopital
Con i metodi dell'analisi può essere senz'altro immediato dare una giustificazione
della disuguaglianza proposta, ma secondo me è molto più stimolante cercare altre
strade. Ho visto dimostrare questo risultato in vari modi, alcuni molto belli e a volte
perfino inaspettati. Io stesso, quando me ne sono occupato, ho cercato una via
un po' più personale, che possibilmente mi evitasse la routine o il ricorso ad altri
risultati già noti. Ho cercato, giusto, non dico certo di esserci riuscito. Tuttavia ti
assicuro che è stato molto istruttivo.
Forse Giuseppe87x ha intuito un tipo di approccio che potrebbe essere interessante.
Chissà...
Ciao!

[son Goku1]

e quale altro metodo ci potrebbe essere? la tua è una semplice disuguaglianza che si dimostra con lo studio di funzioni!! quale sarebbe questo tuo fantomatico metodo, perchè non ce lo mostri così ne discutiamo?

[giuseppe87x]

Con lo sviluppo binomiale dici?

[ficus2002]

"GuillaumedeL'Hopital":
mah... se facciamo $lim_{n to +infty}(sqrt(n^((2+n)/n))-sqrt(n))=0$, quindi da un certo $n$ in poi chiaramente l'espressione nel limite è $

A priori se $sqrt(n^((2+n)/n))-sqrt(n)

Cita

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[son Goku1]

no, è vero, comunque si fa così, pensavo fosse scontato

[Bruno13]

"GuillaumedeL'Hopital":(...)quale sarebbe questo tuo fantomatico metodo (...)?

...non c'è assolutamente nulla di fantomatico, GuillaumedeL'Hopital, ci
mancherebbe!
Ma ti assicuro che la questione si può affrontare in altri modi, magari non altrettanto
"svelti", ma sicuramente interessanti e istruttivi (se te lo dico è perché questa
disuguaglianza gira da un po' di tempo nei forum dove si trattano questi argomenti).
In quanto proponente, tuttavia, sono abituato a non condizionare gli eventuali utenti
interessati con le mie (modeste) soluzioni e preferisco lasciare il tempo agli altri di
ragionarci sopra.

"giuseppe87x":Con lo sviluppo binomiale dici?

...può essere una strada, giuseppe87x
A me, per esempio, è capitato di aver cominciato a studiare proprio gli sviluppi di
alcune potenze.

Sì, mi sembra che sia corretta l'osservazione di Ficus2002 (comunque faccio un
po' di fatica ad orientarmi fra $, accenti circonflessi, parentesi etc., dal momento
che non riesco a visualizzare le formule: purtroppo questo pc non è mio e non posso
installare alcun programma).
Spero però di riuscire a seguirvi lo stesso!


Ciao!

[son Goku1]

"Bruno":[...]In quanto proponente[...]

[Bruno13]

[son Goku1]

per me non esiste un altro metodo, o se esiste sarebbe come dimostrare che 2+2=4 usando la funzioni trigonometriche, inutile!

ciao!

[Sk_Anonymous]

"Bruno":[Provare che,]

er ogni n intero e positivo, si ha: n^{1/n} < 1 + (\frac{2}{n})^{1/2}

Se $n = 1$, la tesi è banale. Ammettiamo perciò nel seguito $n \ge 2$. E allora $n^{1/n} < 1 + (\frac{2}{n})^{1/2}$ sse $n < (1 + (\frac{2}{n})^{1/2})^n$. Senonché - per il teorema del binomiale di Newton: $(1 + (\frac{2}{n})^{1/2})^n > 1 + ((n),(2)) \cdot \frac{2}{n} = n$. Un po' deboluccia, questa disuguaglianza...

[Bruno13]

"DavidHilbert":Un po' deboluccia, questa disuguaglianza...

...verissimo, DavidHilbert, ma mi ha fatto piacere aver letto il tuo intervento,
molto efficace

In effetti, una disuguaglianza appena un poco più forte potrebbe essere questa,
per lo stesso n:




[size=84](PS > Cambiata l'immagine)[/size]

[Sk_Anonymous]

"Bruno":
...verissimo, ma mi ha fatto piacere aver letto il tuo intervento molto efficace

...e fa piacere a me che a te faccia piacere - lo vuole il protocollo!

[Bruno13]

"Giuseppe87x":(...) Tu come l'hai dimostrato?

Per dimostrare la disuguaglianza proposta, e soprattutto quella un po'
più forte che ho riportato nel mio precedente messaggio, ho utilizzato
questa limitazione (r è naturale):



che si intuisce facilmente calcolando i primi sviluppi del membro sinistro
e si dimostra senza difficoltà per induzione.
Per r = n si arriva immediatamente a:



ma si trova anche una forma equivalente all'altra disuguaglianza, quella
più forte:



Mi è capitato di vedere, inoltre, una dimostrazione della disuguaglianza
iniziale di questo topic in cui si faceva ricorso alla disuguaglianza di
Bernoulli (l'ho trovata in OliForum).

Ciao a tutti e grazie