Una collana di cerchi

[axpgn]

Supponiamo di avere $n$ cerchi identici di raggio $r$, tangenti fra loro e disposti come in una collana di perle e colleghiamo i relativi centri con quelli dei cerchi tangenti in modo da formare un poligono (un esempio in figura).

Questa disposizione divide l'area dei cerchi in due parti, una interna al poligono ($I$) e una esterna ($E$).
Quanto vale la loro differenza $E-I$ ?


Cordialmente, Alex

[gio73]

2 volte l' area di un cerchio, indipendentemente dal numero di lati

?

[Drazen77]

La metà dell' area di un cerchio, indipendentemente dal numero di lati

[axpgn]

Avete dato due risposte diverse; dimostratele così vediamo se uno dei due ha ragione


Cordialmente, Alex

[gio73]

disegno tanti cerchi quanti sono i vertici e quindi quanti sono i lati
Trovo che le sezioni interne sono tanti mezzi cerchi quanti il numero dei lati diminuito di 2
Ad esempio nei triangoli ho mezzo cerchio, nei quadrilatero un cerchio, nei pentagoni un cerchio e mezzo, negli esagoni 2 cerchi e cc... $1/2pir^2(n-2)$

Per trovare l area esterna devo togliere agli n cerchi gli (n-2) mezzi cerchi, poi per trovare la differenza devo di nuovo togliere di nuovo gli (n-2) mezzi cerchi, il che equivale a togliere 2 volte (n-2) mezzi cerchi, più facilmente (n-2) cerchi interi

Ora a n cerchi tolgo (n-2)cerchi e mi viene $n-(n-2)=n-n+2=2$

[axpgn]

Ok!