Una bizzarra coincidenza

[axpgn]

Sette amici - Adam, Bruno, Carlo, Dario, Eric, Franco e Giorgio - si ritrovano una sera per giocare a carte; l'accordo fra loro è questo: chi vince raddoppia il denaro che ciascuno degli altri possiede.
Giocano sette partite e curiosamente ognuno ne vince una a turno (tra l'altro in ordine alfabetico partendo da Adam).
Ma ancor più curioso è il fatto che alla fine della serata ciascuno ha in tasca la stessa somma: $32\ €$.
Quanto possedeva ognuno dei sette amici all'inizio della serata?

[dan952]

chiamiamo $i_X$ la somma iniziale del giocatore $X$
Adam vince:
A: $i_A$
B: $2i_B$
C:$2i_C$
D:$2i_D$
E:$2i_E$
F:$2i_F$
G:$2i_G$
Bruno vince:
A: $2i_A$
B: $2i_B$
C:$4i_C$
D:$4i_D$
E:$4i_E$
F:$4i_F$
G:$4i_G$
Carlo vince:
A: $4i_A$
B: $4i_B$
C:$4i_C$
D:$8i_D$
E:$8i_E$
F:$8i_F$
G:$8i_G$
$\vdots$
Alla fine si ottiene
Che $2^6i_A=2^6i_B=2^6i_C=2^6i_D=2^6i_E=2^6i_F=2^6i_G=32 € \Leftrightarrow i_A=i_B=...=i_G=0,5 cent $

[superpippone]

Se non ho "toppato" i conteggi....

112,25-56,25-28,25-14,25-7,25-3,75-2 E,curiosamente (partendo dal minore), ogni termine è il doppio diminuito di 0,25 del precedente

[dan952]

Ho mal interpretato il testo...pensavo erroneamente che i soldi si materializzassero dal nulla

[JackMek]

Concordo con la soluzione di superpippone

Costruendo l'albero delle soluzioni al variare del numero di giocatori si può generalizzare la proprietà già trovata da superpippone

32
24 __ 40
16 __ 28 ___ 52
10 __ 18 ___ 34 ___ 66
6 ___ 11 ___ 21 ___ 41 ___ 81
3.5 _ 6.5 __ 12.5 _ 24.5 __ 48.5 __ 96.5
2 __ 3.75 __ 7.25 _ 14.25 _ 28.25 _ 56.25 _ 112.25

Ogni termine successivo e il doppio del precedente $-2^x $ con $ x in ZZ $ che varia da $ 3 $ a $-\infty$

[axpgn]

superpippone e JackMek


Questo tipo di quesito di solito si risolve "facilmente" (si fa per dire, eh ... ) partendo dalla fine e andando a ritroso, un processo spesso lungo e noioso; riuscite a trovare una formula che fornisca per ciascun giocatore l'importo iniziale posseduto in funzione del numero $n$ di giocatori e della somma $S$ (uguale per tutti) che alla fine rimane in tasca ad ognuno?

Cordialmente, Alex

[dan952]

@axpgn
Per favore, mi potresti spiegare un pò meglio come funziona il gioco, magari con un esempio. Non riesco proprio a capirlo, cioè un giocatore vince rimane con i stessi soldi e gli altri raddoppiano i loro?:(

[superpippone]

Non è che il giocatore che vince rimane con gli stessi soldi, e gli altri raddoppiano i propri....
Gli altri raddoppiano i propri soldi, perchè quello che vince gliene dà una parte dei suoi.
Cioè, chi vince in realtà perde, e chi perde raddoppia.

[dan952]

@superpippone
Grazie mille
Sono una mole di calcoli impressionanti

[superpippone]

Ciao.
Non è tanto complicato.
Partendo dalla fine (tutti a 32), in una decina di minuti si riesce a ricostruire la tabellina completa.

[nino_12]

"axpgn":... una formula che fornisca per ciascun giocatore l'importo iniziale posseduto in funzione del numero $n$ di giocatori e della somma $S$ (uguale per tutti) che alla fine rimane in tasca ad ognuno?

Cordialmente, Alex

Posta N il numero della partita (da 1 a n) vinta dagli n giocatori e I_N l'importo iniziale posseduto dal giocatore N, potrebbe andare:

$I_N = S*(n/2^N + 1/2^n)$

Ciao, Nino

[axpgn]

Ok nino, è equivalente a quella che ho ...

Detto $n$ il numero dei giocatori e $S$ la somma finale ugualmente posseduta da ciascuno, poniamo $S=m(2^n)$; allora se chiamiamo $a_k$ l'importo iniziale posseduto dal $k$-simo vincitore avremo $a_k=m(n*2^(n-k)+1)$.

Mi piacerebbe conoscere il tuo ragionamento ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

"axpgn":
Mi piacerebbe conoscere il tuo ragionamento ...

Cordialmente, Alex

Nessun ragionamento... solo conferma sperimentale per induzione (controllando con qualche $n$ e $S$)

[dan952]

@axpgn
Non so forse serve un qualche algoritmo (metodo di Gauss) o uno iterativo (Jacobi) per risolvere i sistemi lineari di n equazioni a n incognite con termini noti tutti uguali. Sinceramente a me viene in mente solo questa strada...

[axpgn]

@nino
Ok per la verifica ma l'avrai "congetturata" quella formula, no? Sarei curioso di capire come ci sei arrivato oppure se l'hai "solo vista" guardando un po' di casi ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

Chiamando $a(k)$ l'importo iniziale, si vede subito che $a(k)$ è uguale a $(n*S)/2^k$ + un addendo che è:

0,25 (cioè $32/128$) nel caso di $S=32$ e $n=7$

9 (cioè $36/4$) nel caso di $S=36$ e $n=2$

0,15625 (cioè $40/256$) nel caso di $S=40$ e $n=8$

ecc......


Si può quindi supporre che questo addendo sia sempre $S/2^n$, cosa facilmente verificabile provando con qualsiasi $n$ e $S$

[axpgn]

Grazie.

Cordialmente, Alex