Una bicicletta sola

[nino_12]

Un uomo, una donna ed il loro cane devono trasferirsi nel paese vicino, distante 10 km.
Per percorrere i 10 km hanno a disposizione solo una bicicletta.
A piedi, l'uomo e la donna camminano ad una velocità media costante di 2 km/h, mentre in bicicletta pedalano a 12 km/h.
Il cane è un super cane: non solo è capace di guidare la bici, ma con questo mezzo va anche più forte, alla velocità media di 16 km orari. Invece, quando è a piedi (zampe ) va a 4 km/h.

La bici porta una persona (per me i cani sono persone!) alla volta e quindi, alternandosi a loro discrezione, due proseguono a piedi, mentre il terzo può utilizzare la bicicletta.

Il viaggio è concluso quando tutti e tre sono arrivati a destinazione.
Come si può ottimizzare il percorso in modo da impiegarci il minor tempo possibile?

[al_berto]

Ciao a tutti.

Tanto per iniziare:

Il cane impiega in bici 37' 30" e a zampe 150'
L'uomo impiega in bici 50' e a piedi 300'
La donna idem c.s.
Quindi che vadano a zampe a piedi o in bici dovranno sempre aspettare l'uomo o la donna che vanno a piedi.
Ci impiegheranno così 300'.
L'alternarsi in bicicletta credo che serva solo per fare meno fatica. Non va bene, eh?

[nino_12]

"al_berto":Ciao a tutti.

Tanto per iniziare:

L'alternarsi in bicicletta credo che serva solo per fare meno fatica. Non va bene, eh?

Eh..., no, non va bene...

Aiutino:

Per ottimizzare (cioè minimizzare il tempo) i tre devono arrivare a destinazione contemporaneamente.
Si deduce facilmente che occorre penalizzare il cane, facendogli fare un po' più di strada, in modo che sia l'uomo che la donna possano fare in bici più di metà percorso.

[axpgn]

Una modalità potrebbe essere questa ...

L'uomo parte a piedi e la donna accompagna il cane in bici; ad un certo punto il cane torna indietro in bici fino ad incontare l'uomo e ripartono insieme: l'uomo in bici e il cane a piedi (o quel che è ... ).
Se si sceglie il punto giusto tutti e tre arriveranno insieme.
Questa procedura dovrebbe minimizzare i tempi perché permette agli umani il percorso minore a piedi (che è il più lento).
Il tempo impiegato in questo caso è $3 11\/28\ h$.

Il calcolo si ottiene così ...
L'uomo compie un tratto a piedi ($u_1$) corrispondente ad un tratto in bici della donna doppio $d_1=2u_1$ perchè lei accompagna il cane. Poi ciascuno dei due compie un tratto $x$ comune quando il cane torna indietro in bici. Infine la donna compie a piedi l'ultimo tratto ($d_2$) che è la metà di quello dell'uomo ($u_2=2d_2$) che accompagna il cane.
Quindi abbiamo ${(10=u_1+x+u_2),(10=d_1+x+d_2):}$ da cui ${(10=u_1+x+u_2),(10=2u_1+x+u_2/2):}$ e sottraendo membro a membro $0=u_1-u_2/2\ =>\ 2u_1=u_2$.
Il tempo impiegato dal cane quando torna indietro in bici lo possiamo ricavare in questo modo: la distanza tra uomo e cane è pari a $u_1$ e se ipotizziamo l'uomo fermo la velocità del cane è di $18\ (km)/h$ quindi avremo $t_x=u_1/18$ perciò il tratto $x$ percorso dall'uomo sarà $x=2*u_1/18=u_1/9$.
Ricapitolando: $10=u_1+x+u_2=u_1+u_1/9+2u_1\ =>\ 10=28/9u_1\ =>\ u_1=45/14\ km$
L'uomo percorre i tratti $u_1$ e $x$ a $2\ (km)/h$ e il tratto $u_2$ a $4\ (km)/h$, per un totale di $t=(45/14)/2+(5/14)/2+(45/7)/4=3.39\ h$

Cordialmente, Alex

[nino_12]

"axpgn":

Una modalità potrebbe essere questa ...

L'uomo parte a piedi e la donna accompagna il cane in bici; ad un certo punto il cane torna indietro in bici fino ad incontare l'uomo e ripartono insieme: l'uomo in bici e il cane a piedi
....
L'uomo percorre i tratti $u_1$ e $x$ a $2\ (km)/h$ e il tratto $u_2$ a $4\ (km)/h$, per un totale di $t=(45/14)/2+(5/14)/2+(45/7)/4=3.39\ h$

Cordialmente, Alex

Il ragionamento mi pare corretto, ma è svolto non in modo ottimale.
(Fra l'altro non ho capito cosa significa che la donna accompagna il cane in bici...)

La partenza avviene allo stesso istante per tutti e tre.
Supponi che il cane vada sempre a piedi e l'uomo e la donna facciano metà percorso a piedi e metà in bici.
In tal caso, il cane arriverebbe per primo (dopo 2 ore e mezza), ma anche uomo e donna arriverebbero in meno tempo di quanto hai calcolato tu (35/12 di ora).
Si può fare meglio.

Ciao
Nino

[axpgn]

"nino_":(Fra l'altro non ho capito cosa significa che la donna accompagna il cane in bici...)
"

Significa "... la donna IN BICI accompagna il cane ...

"nino_":... Supponi che il cane vada sempre a piedi e l'uomo e la donna facciano metà percorso a piedi e metà in bici.
In tal caso, il cane arriverebbe per primo (dopo 2 ore e mezza), ma anche uomo e donna arriverebbero in meno tempo di quanto hai calcolato tu (35/12 di ora). ...

Eh, no ... la bici non si può abbandonare per strada ... ... ho cercato la soluzione in modo tale che si portino la bici e si diano il cambio ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

"axpgn":
Eh, no ... la bici non si può abbandonare per strada ... ... ho cercato la soluzione in modo tale che si portino la bici e si diano il cambio ...

Cordialmente, Alex

Ovviamente, invece, come da testo, chi guida la bici può abbandonare la bici dove vuole e proseguire a piedi.
La bici verrà recuperata e usata da chi a piedi arriva nel punto ove era stata lasciata.

[axpgn]

"nino_":Ovviamente, invece, come da testo, chi guida la bici può abbandonare la bici dove vuole e proseguire a piedi. La bici verrà recuperata e usata da chi a piedi arriva nel punto ove era stata lasciata.

... mmm ... a me non pare che il testo dica qualcosa in merito ... ... e quindi ho pensato alla soluzione più logica, ma se un cane può andare in bici di logico c'è ben poco ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

OK per la (scarsa) logica riferita al cane che sa andare in bici.

Però, i dati di un quiz dovrebbero essere tutti necessari, sufficienti ed utilizzati per la soluzione.
E secondo la tua interpretazione non serve a nulla dire che "l'uomo e la donna in bicicletta pedalano a 12 km/h", perché in realtà in bici vanno alla velocità del cane (altrimenti, chi fa l'ultimo tratto in bici arriverebbe prima).

Quindi, con questi chiarimenti...

[axpgn]

Allora .. questa dovrebbe funzionare ...

Il tempo minimo occorrente è $2^h\ 45'$.

Partono insieme, la donna in bici; arrivata al $km\ 5,4$ si ferma e prosegue a piedi arrivando a destinazione dopo $2^h\ 45'$ dalla partenza.
Il cane arriva al $km\ 5,4$ dopo $1^h\ 21'$, prende la bici e torna al $km\ 4,6$ da cui riparte a piedi verso la meta dove arriva dopo $2^h\ 45'$.
L'uomo arriva al $km\ 4,6$ dopo $2^h\ 18'$, prende la bici ed arriva alla fine dopo $2^h\ 45'$.

Il dettaglio poi ... forse ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

"nino_":E secondo la tua interpretazione non serve a nulla dire che "l'uomo e la donna in bicicletta pedalano a 12 km/h", perché in realtà in bici vanno alla velocità del cane (altrimenti, chi fa l'ultimo tratto in bici arriverebbe prima) ...

Sì, certo l'avevo notato che non mi serviva (e quindi avevo dubbi) ma il testo, permettimi, non è chiaro sulle condizioni e non è certo raro avere problemi con dati inutili "per fare fumo" ...

Comunque ci dovrei essere .. appeno ho tempo posto i ragionamenti che ho fatto ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

"axpgn":Allora .. questa dovrebbe funzionare ...

Il tempo minimo occorrente è $2^h\ 45'$.

Partono insieme, la donna in bici; arrivata al $km\ 5,4$ si ferma e prosegue a piedi arrivando a destinazione dopo $2^h\ 45'$ dalla partenza.
Il cane arriva al $km\ 5,4$ dopo $1^h\ 21'$, prende la bici e torna al $km\ 4,6$ da cui riparte a piedi verso la meta dove arriva dopo $2^h\ 45'$.
L'uomo arriva al $km\ 4,6$ dopo $2^h\ 18'$, prende la bici ed arriva alla fine dopo $2^h\ 45'$.

Il dettaglio poi ... forse ...

Cordialmente, Alex

Perfetto.

Per qualcun altro che magari voglia cimentarsi, c'è questo simile:

Tre amici, Aldo, Berto e Carlo, devono recarsi in una città distante 55 km.
Essi dispongono di una bicicletta, sulla quale possono salire in due, uno che pedala e l'altro che viene trasportato sulla canna.

Decidono pertanto che Aldo procederà a piedi a 4 km l'ora, mentre gli altri due andranno in bicicletta a 20 km orari sino ad un certo punto; qui Carlo scenderà dalla bicicletta e continuerà a piedi, a 4 km/h, fino al termine.
Berto invece tornerà indietro a 30 km/h (da solo va più veloce), e, raggiunto Aldo, insieme proseguiranno in bicicletta fino a destinazione, alla velocità oraria di 20 km.

A quale distanza dal punto di partenza dovrà retrocedere la bicicletta affinché i tre amici possano arrivare insieme?

[axpgn]

Dunque ... il mio ragionamento è stato questo ... (per il quesito col cane ..)

Parto dal presupposto che la durata minima si ha solo quando il percorso a piedi della coppia è uguale. (Se fosse altrimenti potremmo sempre "pareggiare" i due percorsi diminuendo quello maggiore e di conseguenza il tempo necessario).
Perciò se la donna percorre un tratto $x$ in bicicletta e poi il resto a piedi allora l'uomo percorrerà un tratto $(10-x)$ a piedi ed il resto in bici.
Un esempio di ciò è quello già postato da nino ($5+5$); in tal caso si può notare che il cane ci metterà un tempo minore rispetto agli altri due...
Partendo da questa situazione si può ipotizzare che se la donna farà un tratto maggiore in bici e l'uomo un corrispondente tratto in meno a piedi con il cane che riporta la bici, il tempo totale diminuisce finché il tempo totale im piegato dal cane non supererà quello impiegato dalla coppia.
Formalizzando avremo $t_d=x/12+(10-x)/2=(x+60-6x)/12=(60-5x)/12$ dove $t_d$ è il tempo complessivo impiegato dalla donna e $x$ il tratto percorso in bici; invece $t_c=(x+x)/4+(x-(10-x))/16=2x/4+(2x-10)/16=(8x+2x-10)/16=(10x-10)/16$ dove $t_c$ è il tempo impiegato dal cane.
Uguagliamo i due e otteniamo $(60-5x)/12=(10x-10)/16\ =>\ 240-20x=30x-30\ =>\ 270=50x\ =>\ x=5.4$.
Da qui si prosegue con i vari calcoli ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

[quote=axpgn]

Parto dal presupposto che la durata minima si ha solo quando il percorso a piedi della coppia è uguale. (Se fosse altrimenti potremmo sempre "pareggiare" i due percorsi diminuendo quello maggiore e di conseguenza il tempo necessario).
Perciò se la donna percorre un tratto $x$ in bicicletta e poi il resto a piedi allora l'uomo percorrerà un tratto $(10-x)$ a piedi ed il resto in bici.
Un esempio di ciò è quello già postato da nino ($5+5$); in tal caso si può notare che il cane ci metterà un tempo minore rispetto agli altri due...
Partendo da questa situazione si può ipotizzare che se la donna farà un tratto maggiore in bici e l'uomo un corrispondente tratto in meno a piedi con il cane che riporta la bici, il tempo totale diminuisce finché il tempo totale im piegato dal cane non supererà quello impiegato dalla coppia.
Formalizzando avremo $t_d=x/12+(10-x)/2=(x+60-6x)/12=(60-5x)/12$ dove $t_d$ è il tempo complessivo impiegato dalla donna e $x$ il tratto percorso in bici; invece $t_c=(x+x)/4+(x-(10-x))/16=2x/4+(2x-10)/16=(8x+2x-10)/16=(10x-10)/16$ dove $t_c$ è il tempo impiegato dal cane.
Uguagliamo i due e otteniamo $(60-5x)/12=(10x-10)/16\ =>\ 240-20x=30x-30\ =>\ 270=50x\ =>\ x=5.4$.
Da qui si prosegue con i vari calcoli ...

OK.

Anche così:

Graficamente:

|---------------------10 km-------------------------|

|---------------------|--------|---------------------|
.............x..........10-2x ............. x

Ho indicato con x la distanza percorsa dall'uomo (es. il primo tratto x) e dalla donna (es. l'ultimo tratto x) a piedi. Quindi
$10-2x+x = 10-x$
è la distanza percorsa dall'uomo (e prima anche dalla donna) in bici.

Il tempo per fare i 10 km sarà:

$t = x/2 + (10-x)/12 = (6x+10-x)/12 = (10 + 5x) / 12$

Lo stesso stempo t dovrà essere impiegato dal cane, che farà un percorso totale pari a

$(x+10-2x)+(10-2x)+(10-2x)+x= (x+10-2x+x) + (10-2x ) + (10-2x) = 10 + (10-2x) + (10-2x) = (20 - 2x ) + (10 - 2x)$

Il primo termine è percorso a "zampe" alla velocità di 4 km/h, il secondo in bici alla velocità di 16 km/h:

$t = (20-2x)/4 + (10-2x)/16 = (80-8x+10-2x)/16 = (90-10x)/16 = (45 - 5 x) / 8$

Uguagliando:

$(10+5x)/12 = (45-5x)/8$

$20+10x = 135-15x$

$25x = 115$

$x = 4,6 km$ ... (percorsi dagli umani a piedi)

$(10-2x) =0,8 km $ ... percorsi in più dal cane, una volta in bici (a ritroso) e l'altra a piedi

Ciao
Nino

[nino_12]

"nino_":
Tre amici, Aldo, Berto e Carlo, devono recarsi in una città distante 55 km.
Essi dispongono di una bicicletta, sulla quale possono salire in due, uno che pedala e l'altro che viene trasportato sulla canna.

Decidono pertanto che Aldo procederà a piedi a 4 km l'ora, mentre gli altri due andranno in bicicletta a 20 km orari sino ad un certo punto; qui Carlo scenderà dalla bicicletta e continuerà a piedi, a 4 km/h, fino al termine.
Berto invece tornerà indietro a 30 km/h (da solo va più veloce), e, raggiunto Aldo, insieme proseguiranno in bicicletta fino a destinazione, alla velocità oraria di 20 km.

A quale distanza dal punto di partenza dovrà retrocedere la bicicletta affinché i tre amici possano arrivare insieme?

Se interessa la soluzione:

Poiché Aldo e Carlo fanno un tratto a piedi a 4 km/h (uno all'inizio e l'altro alla fine del percorso) e un altro tratto a 20 km/h, ed impiegano lo stesso tempo per percorrere i 55 km, la lunghezza dei loro tratti a piedi (e di quelli in bicicletta) deve essere uguale.

Se chiamiamo $S1 $ il tratto percorso a piedi, avremo:

Tempo impiegato da Aldo e Carlo:
$(S1)/4 + (55-S1)/20$

Tempo impiegato da Berto:
$2*(55-S1)/20 + (55-2S1)/30$

Uguagliando:
$15S1 + 165 -3S1 = 330 -6S1 +110 -4S1$
$22S1 = 275$
$S1 = 12,5 km$

quindi, l'inversione si verificherà al chilometro $(55-12,5) = 42,5 $