Un sistema complicato
Si trovino tutte le cinquine $(a,b,c,d,e)in[−2, 2]^5$ che risolvono il seguente sistema:
$\{(a+b+c+d+e=0),(a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=0),(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=10):}$
Sommando le prime due equazioni ho ottenuto:
$a(a^2+1)+b(b^2+1)+c(c^2+1)+d(d^2+1)+e(e^2+1)=0$
Sommando la seconda e la terza ho ottenuto
$a^3(a^2+1)+b^3(b^2+1)+c^3(c^2+1)+d^3(d^2+1)+e^3(e^2+1)=10$
Sommando queste ultime due ho ottenuto
$a(a^2+1)^2+b(b^2+1)^2+c(c^2+1)^2+d(d^2+1)^2+e(e^2+1)^2=10$
Non so se da questi passaggi è possibile trarne qualche conclusione, cosa ne pensate?
$\{(a+b+c+d+e=0),(a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=0),(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=10):}$
Sommando le prime due equazioni ho ottenuto:
$a(a^2+1)+b(b^2+1)+c(c^2+1)+d(d^2+1)+e(e^2+1)=0$
Sommando la seconda e la terza ho ottenuto
$a^3(a^2+1)+b^3(b^2+1)+c^3(c^2+1)+d^3(d^2+1)+e^3(e^2+1)=10$
Sommando queste ultime due ho ottenuto
$a(a^2+1)^2+b(b^2+1)^2+c(c^2+1)^2+d(d^2+1)^2+e(e^2+1)^2=10$
Non so se da questi passaggi è possibile trarne qualche conclusione, cosa ne pensate?
Risposte
per curiosità da dove viene il problema? Perchè io ho una soluzione che fa uso delle derivate e quindi non è propriamente elementare, e data la sezione in cui l'hai postato magari sono io che non riesco a trovare quella più semplice... se mi confermi che può andarti bene lo stesso procedo a postare 
Altro problema del Preimo di quest'anno.
Ho visto una soluzione che usava i polinomi di Čebyšëv della seconda specie
.
Ho visto una soluzione che usava i polinomi di Čebyšëv della seconda specie
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"Gaussman":
per curiosità da dove viene il problema? Perchè io ho una soluzione che fa uso delle derivate e quindi non è propriamente elementare, e data la sezione in cui l'hai postato magari sono io che non riesco a trovare quella più semplice... se mi confermi che può andarti bene lo stesso procedo a postare
Procedi, qualsiasi idea è gradita.
Avrei una mezza soluzione con una conclusione tutta...da verificare. Allora, posto come variabili a,b,c,d,e, indico con \(\displaystyle f_k \) la somma dei prodotti (distinti) di tali variabili prese a k a k. Per esempio \(\displaystyle f_1 \) indica la somma delle variabili;\(\displaystyle f_2 \) indica la somma \(\displaystyle ab+ac+ad+...+de \) e così via. Dalla teoria delle funzioni simmetriche rispetto a date variabili si hanno le seguenti relazioni :
1) \(\displaystyle a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=f_1^3-3f_1f_2+3f_3 \)
2) \(\displaystyle a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=f_1^5-5f_1^3f_2+5f_1f_2^2+5f_1^2f_3-5f_2f_3-5f_1f_4+5f_5 \)
Pertanto, essendo per ipotesi \(\displaystyle f_1=0 \) , ne deriva che :
3) \(\displaystyle 0=f_3 \)
4) \(\displaystyle 10=5 f_5 \)
In definitiva abbiamo il sistema equivalente :
\(\displaystyle \begin{cases} a+b+c+d+e=0\\abc+abd+abe+...+cde=0\\abcde=2\end{cases}\)
Dal momento che le incognite sono 5 mentre le equazioni sono solo 3, ne consegue che è possibile inserire due dati ( ovviamente compatibili con le ipotesi). Scelgo come dati \(\displaystyle f_2=A,f_4=B \) di modo che il precedente sistema diventa :
\(\displaystyle \begin{cases} a+b+c+d+e=0\\ab+ac+ad+...+de=A\\abc+abd+abe+...+cde=0\\abcd+abde+...+bcde=B\\abcde=2\end{cases}\)
Tale sistema equivale all'equazione :
%) \(\displaystyle t^5+At^3+Bt-2=0 \)
Le eventuali cinque radici, che siano contenute in \(\displaystyle [-2,+2] \), forniscono una soluzione al quesito. Il problema si riduce quindi a risolvere la (%) e qui...casca l'asino perché dai miei calcoli ( che eventualmente posterò ) pare che non ci siano soluzioni. Ma sbaglio sicuramente...
1) \(\displaystyle a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=f_1^3-3f_1f_2+3f_3 \)
2) \(\displaystyle a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=f_1^5-5f_1^3f_2+5f_1f_2^2+5f_1^2f_3-5f_2f_3-5f_1f_4+5f_5 \)
Pertanto, essendo per ipotesi \(\displaystyle f_1=0 \) , ne deriva che :
3) \(\displaystyle 0=f_3 \)
4) \(\displaystyle 10=5 f_5 \)
In definitiva abbiamo il sistema equivalente :
\(\displaystyle \begin{cases} a+b+c+d+e=0\\abc+abd+abe+...+cde=0\\abcde=2\end{cases}\)
Dal momento che le incognite sono 5 mentre le equazioni sono solo 3, ne consegue che è possibile inserire due dati ( ovviamente compatibili con le ipotesi). Scelgo come dati \(\displaystyle f_2=A,f_4=B \) di modo che il precedente sistema diventa :
\(\displaystyle \begin{cases} a+b+c+d+e=0\\ab+ac+ad+...+de=A\\abc+abd+abe+...+cde=0\\abcd+abde+...+bcde=B\\abcde=2\end{cases}\)
Tale sistema equivale all'equazione :
%) \(\displaystyle t^5+At^3+Bt-2=0 \)
Le eventuali cinque radici, che siano contenute in \(\displaystyle [-2,+2] \), forniscono una soluzione al quesito. Il problema si riduce quindi a risolvere la (%) e qui...casca l'asino perché dai miei calcoli ( che eventualmente posterò ) pare che non ci siano soluzioni. Ma sbaglio sicuramente...
Accidenti, io nemmeno sapevo cosa fosse la teoria delle funzioni simmetriche rispetto a date variabili. Comunque mi sembra che tu abbia fatto un buon lavoro, ti ringrazio.
non ho idea di che cippa siano i polinomi di chebicev, comunque la mia soluzione fa veramente pena. L'idea era che poichè deve valere $\sum (x_i^5+ax_i^3+bx_i)=10$ dove x_i sono le 5 variabili e a,b costanti reali qualsiasi (sommo la 3 equazione con a*la seconda+b*la prima) allora se trovo una funzione $f(x)=x^5+ax^3+bx$ tale che per $|x|\le 2$ allora $f(x)\le 2$ sono a cavallo perchè la somma di prima sarebbe sempre minore o uguale a 10 con uguaglianza solo se x_i=y dove $f(y)=2$ e chiaramente gli unici punti candidati sono gli estremi dell'intervallo e i massimi.
ADESSO VIENE IL BRUTTO, ANZI BRUTTISSIMO!
il fatto è che ho provato a calcolare i massimi minimi nella forma generica (con a e b) ponendo la derivata uguale a 0 e poi porre questi punti $\le 2$, ma la disequazione risultante è troppo brutta e mi sono arreso dinnanzi agli orrendi calcoli. Quindi ho optato per la strada "di solito la soluzione se c'è è in una forma bella" e provando solo gli a e b interi e usando wolfram alpha ho trovato che $x^5-5x^3+5x$ funziona...in pratica ho tirato a caso e son stato fortunato.
Da questo punto è facile concludere
ADESSO VIENE IL BRUTTO, ANZI BRUTTISSIMO!
il fatto è che ho provato a calcolare i massimi minimi nella forma generica (con a e b) ponendo la derivata uguale a 0 e poi porre questi punti $\le 2$, ma la disequazione risultante è troppo brutta e mi sono arreso dinnanzi agli orrendi calcoli. Quindi ho optato per la strada "di solito la soluzione se c'è è in una forma bella" e provando solo gli a e b interi e usando wolfram alpha ho trovato che $x^5-5x^3+5x$ funziona...in pratica ho tirato a caso e son stato fortunato.
Da questo punto è facile concludere
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