Un problema molto conosciuto-- Cifra mancante

[al_berto]

Buongiorno.
Trovare un numero di due cifre, uguale al doppio prodotto delle proprie cifre. [R.36]
Trattare la questione algebricamente e aritmeticamente.

Cifra mancante.
Se si prega una persona di scrivere due volte di seguito un numero qualunque di tre cifre (intero positivo) e di moltiplicare il numero così composto per un numero qualsiasi ( i.p. e < 100 per porre un limite ai numeri esgerati) e di rivelare il prodotto, con un asterisco al posto di una cifra, si può indovinare la cifra mancante. Come?
Es.:$ 649 $ num. scelto
$ 649649 $ num. composto
$ 57xx 649649 $
risultato presentato $ 3702 $* $993 $.
Grazie.

[igiul1]

Primo problema

Il numero è multiplo di 4, perchè:
1) è pari, altrimenti non sarebbe il doppio di ....;
2) essendo pari lo è anche il prodotto delle cifre;
3) il doppio di un numero pari è multiplo di 4.
L'unico multiplo di 4 che verifica la condizione è 36.

[axpgn]

Se si moltiplica un numero di tre cifre per $1001$ si ottiene un numero di sei cifre formato dalla ripetizione del numero di tre cifre.
Perciò il numero risultante (quello a cui manca una cifra) è il risultato della moltiplicazione per $1001$ del prodotto fra numero di tre cifre e quello da due; questo prodotto al massimo può essere composto da cinque cifre ($abcde$).
Moltiplicarlo per $1001$ significa sommare $abcde+abcde000$.
Da questa somma si può sempre risalire alla cifra mancante.

Esempio:

$abcde+abcde000=3702?993$

La cifra mancante è la somma di $b+e$; ora dato che le due $c$ non sono uguali significa la prima $c=0$ è stata ottenuta sommando $1$ alla seconda $c=9$ perciò abbiamo un riporto anche sulla $b$ il cui valore perciò non è $7$ ma $6$; dato che $e=3$ allora la cifra mancante è $9$.

Cordialmente, Alex

[nino_12]

Si separa il numero in gruppi di tre cifre, a partire da destra:

37|02*|993

Si fa la somma dei gruppi di posto dispari:
37 + 993 = 1030

Questo valore deve essere uguale a quello della somma del gruppo di posto pari (aggiungendo, se del caso, 1001).
Perciò:
1030 - 1001 - 02* = 0

Da cui si deduce subito che la cifra * è un 9

[al_berto]

Chi vuole provare?
*8102064
421622*01
3579*760
Pregherei axpgn e nino di aspettare chi altri volesse provarci, prima di fornire le proprie soluzioni. Grazie

[nino_12]

Rilancio

Pensa un numero con un numero dispari di cifre (ad es. di 5 cifre, come 85463).
Fai la differenza fra questo numero e il numero con le stesse cifre scritte in ordine inverso (nel caso precedente, 36458).
Moltiplica il risultato per un numero qualunque (es. 36) e dal nuovo risultato annulla due cifre, che non siano entrambe zeri e che si trovano una in un posto pari e l'altra in un posto dispari, sostituendole con due asterischi.
Ad es. per il caso indicato, potresti scrivere:
17*41*0
A questo punto, occorre indovinare le due cifre cancellate (che sono 6 e 8).

Se scrivo 20**164, qual è il risultato ricostruito?

[al_berto]

Dovrebbero essere $2 3 $ quindi il numero completo sarà $ 2023164$

Se il numero è giusto scriverò il procedimento.

[nino_12]

"al_berto":

Dovrebbero essere $2 3 $ quindi il numero completo sarà $ 2023164$

[al_berto]

@nino
Posso arrischiare che la moltiplicazione, differenza per numero qualunque potrebbe essere, se i numeri sono rispett. di 5 cfre e 2 cifre:

$25938xx78$ oppure
$38907xx52$

Grazie a tutti
ciao
aldo

[axpgn]

Il numero risultante è divisibile sia per $9$ che per $11$ dato che è multiplo di $99$.
Quindi deve soddisfare entrambi i criteri. di divisibilità.

Per esempio $20??164$ deve soddisfare sia $6+4+1+2+a+b=9k$ che $4+1+a+2-(6+b+0)=11h$ da cui $a+b$ è $5$ o $14$ e anche $a-b=11h-1$ da cui $a-b=-1$; la conclusione è $a=2$ e $b=3$

Cordialmente, Alex

[al_berto]

@axpgn
Purtroppo riesco a seguirti fino alla divisibilità per $9$ e per $11$. Per il resto no, ma non sono un genio matematico.
Prova se vuoi a fare l'esempio con $ 12$*$70$*$2$ di cui sono sicuro del procedimento.
ciao.
aldo

[axpgn]

$12a70b2$

Divisibilità per $9$

$1+2+a+7+0+b+2=9k\ =>\ a+b+12=9k\ =>\ a+b+12=18 vv a+b+12=27\ =>\ $
$\ =>\ a+b=6 vv a+b=15$

Divisibilità per $11$

$2+0+a+1-(b+7+2)=11h\ =>\ -6+a-b=11h\ =>\ a-b=6 vv a-b=-11+6=-5$

Sommo membro a membro le due equazioni

$2a=12\ =>\ a=6\ =>\ b=0 vv 2a=21 \ =>\ O/ vv 2a=1 \ =>\ O/ vv 2a=10\ =>\ a=5 \ =>\ O/$

Risultato

$1267002$

Cordialmente, Alex

[nino_12]

Molto più semplicemente.

E' chiaro che il numero da ricostruire è divisibile per 99.
Un numero è divisibile per 99 se, una volta suddiviso in gruppi di due cifre a partire da destra, la somma dei numeri formati da questi gruppi (in valore assoluto) è divisibile per 99.

Quindi, per indovinare le cifre sostituite da un asterisco, basta sottrarre da 99 (o da un suo multiplo) i gruppi di due cifre in chiaro e successivamente quelle con l'asterisco.
Il risultato rappresenta il numero di unità e di decina incognito, a seconda della posizione dell'asterisco nel proprio gruppo.

Vediamo l'esempio:
1|2*|70|*2

99 - 1 - 70 = 28

28 -
2* -
*2 =
-----
06

Quindi l'asterisco delle unità vale 6 e quello delle decine vale 0 e il risultato è:
1267002