Un po' di geometria euclidea
Non ho visto tanta geometria in questa sezione e quindi provvedo subito.
Sia \(\displaystyle ABC \) un triangolo isoscele con \(\displaystyle AB=AC \). Si supponga che la bisettrice dell'angolo \(\displaystyle \widehat{ABC }\) incontri il lato \(\displaystyle AC \) nel punto \(\displaystyle D \) e che \(\displaystyle BC=AD+BD \). SI determini l'ampiezza dell'angolo \(\displaystyle \widehat{BAC } \).
Sia \(\displaystyle ABC \) un triangolo isoscele con \(\displaystyle AB=AC \). Si supponga che la bisettrice dell'angolo \(\displaystyle \widehat{ABC }\) incontri il lato \(\displaystyle AC \) nel punto \(\displaystyle D \) e che \(\displaystyle BC=AD+BD \). SI determini l'ampiezza dell'angolo \(\displaystyle \widehat{BAC } \).
Risposte
Ci ho provato per una decina di minuti ieri, ma non sono ancora arrivata alla soluzione, ci riproverò stasera appena avrò un po' di tempo...
Il fatto che nessuno risponde significa che è difficile o nessuno ci sta mettendo mano?
Il fatto che nessuno risponde significa che è difficile o nessuno ci sta mettendo mano?
Senza togliere a nessuno il piacere della risoluzione, mi permetto di far notare che $BAC =pi*rad-4*CBD$ ...
marcokrt:
Senza togliere a nessuno il piacere della risoluzione, mi permetto di far notare che $BAC =pi*rad-4*CBD$ ...
E con questo cosa vorresti dire? Ciò che dici è vero ovunque si trovi D sul lato AC, ma immagino dobbiamo trovare quel valore particolare che fa sì che BC sia uguale ad AD+DB. Forse però il tuo voleva essere solo un suggerimento che ancora non capisco, e non la soluzione. In tal caso mi scuso...
Sono quasi vicina alla soluzione...
Chiamando \(\displaystyle \alpha\) l'angolo \(\displaystyle A\hat{B}C \), in tal modo l'angolo \(\displaystyle B\hat{A}C=180°-2\alpha\). Ho impostato il teorema dei seni sui due triangoli ABD e BCD, le proporzioni che mi interessano sono
1) \(\displaystyle BD:\sin(180°-2\alpha)=DA:\sin \frac {\alpha}{2}\)
e
2) \(\displaystyle BC:\sin(180°-{\frac {3}{2}\alpha})=BD:\sin\alpha\)
Dalla prima ottengo
\(\displaystyle BD:\sin(2\alpha)=DA:\sin\frac {\alpha}{2}\)
da cui
\(\displaystyle (BD+DA):BD=(\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}):\sin(2\alpha)\)
ovvero
\(\displaystyle BC:BD=(\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}):\sin(2\alpha)\)
Dalla seconda ottengo
\(\displaystyle BC:\sin{\frac {3}{2}\alpha}=BD:\sin\alpha\)
ovvero
\(\displaystyle BC:BD=\sin{\frac {3}{2}\alpha}:\sin\alpha\)
Confrontando le due proporzioni ottenute si ha che
\(\displaystyle \frac {\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}}{\sin(2\alpha)}=\frac{\sin{\frac {3}{2}\alpha}}{\sin\alpha}\)
Ora il mio problema è risolvere questa equazione goniometrica, che se non erro dovrebbe portare ad \(\displaystyle \alpha=40°\), quindi a \(\displaystyle B\hat{A}C=100°\)
Attendo suggerimenti per la risoluzione dell'equazione goniometrica, grazie...
Chiamando \(\displaystyle \alpha\) l'angolo \(\displaystyle A\hat{B}C \), in tal modo l'angolo \(\displaystyle B\hat{A}C=180°-2\alpha\). Ho impostato il teorema dei seni sui due triangoli ABD e BCD, le proporzioni che mi interessano sono
1) \(\displaystyle BD:\sin(180°-2\alpha)=DA:\sin \frac {\alpha}{2}\)
e
2) \(\displaystyle BC:\sin(180°-{\frac {3}{2}\alpha})=BD:\sin\alpha\)
Dalla prima ottengo
\(\displaystyle BD:\sin(2\alpha)=DA:\sin\frac {\alpha}{2}\)
da cui
\(\displaystyle (BD+DA):BD=(\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}):\sin(2\alpha)\)
ovvero
\(\displaystyle BC:BD=(\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}):\sin(2\alpha)\)
Dalla seconda ottengo
\(\displaystyle BC:\sin{\frac {3}{2}\alpha}=BD:\sin\alpha\)
ovvero
\(\displaystyle BC:BD=\sin{\frac {3}{2}\alpha}:\sin\alpha\)
Confrontando le due proporzioni ottenute si ha che
\(\displaystyle \frac {\sin(2\alpha)+\sin\frac {\alpha}{2}}{\sin(2\alpha)}=\frac{\sin{\frac {3}{2}\alpha}}{\sin\alpha}\)
Ora il mio problema è risolvere questa equazione goniometrica, che se non erro dovrebbe portare ad \(\displaystyle \alpha=40°\), quindi a \(\displaystyle B\hat{A}C=100°\)
Attendo suggerimenti per la risoluzione dell'equazione goniometrica, grazie...
$40°$ certamente soddisfa l'equazione goniometrica (basta che sostituisci $2pi/9$ in $a$).
Edit: Ero di fretta e avevo scambiato il $40°$ per la soluzione... per farmi perdonare ho controllato i passaggi e non ho trovato errori
Edit: Ero di fretta e avevo scambiato il $40°$ per la soluzione... per farmi perdonare ho controllato i passaggi e non ho trovato errori
marcokrt:
$40°$ certamente soddisfa l'equazione goniometrica (basta che sostituisci $2pi/9$ in $a$)... è il resto che non va
(per rendertene conto basta un disegno a mano libera)
Scusa, ma io sono partita proprio dal disegno, spiegami dove sbaglio...
Avevo scambiato il 40° per il valore dell'angolo maggiore (a una certa età capita XD). Il teorema dei seni mi pare corretto e la risoluzione dell'equazione certamente lo è.
In realtà mi ha tratto in inganno il fatto di chiamare "alfa" l'angolo in B (automaticamente l'avevo associato all'angolo in A)
In realtà mi ha tratto in inganno il fatto di chiamare "alfa" l'angolo in B (automaticamente l'avevo associato all'angolo in A)
La soluzione \(\displaystyle B\hat{A}C=100°\) è corretta. 
Il titolo porta scritto geometria "euclidea" perchè la strada più semplice è usare teoremi di geometria sintetica.
Il titolo porta scritto geometria "euclidea" perchè la strada più semplice è usare teoremi di geometria sintetica.
"giannirecanati":
La soluzione \(\displaystyle B\hat{A}C=100°\) è corretta.
Il titolo porta scritto geometria "euclidea" perchè la strada più semplice è usare teoremi di geometria sintetica.
Sto cercando di capire quali teoremi di geometria sintetica usare, ci penserò...
Una soluzione "sintetica"
Pongo :
\(\displaystyle ABD=DBC=\alpha,ACB=2\alpha\)
Su BC prendo E in modo che sia \(\displaystyle BE=BD \)
Pertanto è:
\(\displaystyle BC=BE+EC=BD+EC\)
Ma per ipotesi è pure :
\(\displaystyle BC=BD+AD\)
Confrontando si trova che :
\(\displaystyle EC=AD \)
Per il teorema della bisettrice è :
\(\displaystyle BC:AB=CD:AD \)
Ma \(\displaystyle AB=AC , AD=EC \),percui si ha:
1) \(\displaystyle BC:AC=CD:EC \)
Da (1) segue che i triangoli ABC e CDE sono simili per avere l'angolo in C in comune e i due lati che comprendono quest'angolo in proporzione.E siccome ABC è isoscele su BC,CDE sarà isoscele su CD:
\(EC=ED,EDC=ECD=\displaystyle 2\alpha \)
Ora per il terorema dell'angolo esterno è:
\(\displaystyle BED= ECD+EDC=2\alpha+2\alpha=4\alpha\)
Poiché il triangolo BED per costruzione è isoscele su DE sarà pure:
\(\displaystyle BDE=4\alpha \)
Dal triangolo BDE ( o dal triangolo BCD) risulta che :
\(\displaystyle \alpha+4\alpha+4\alpha=180° \) da cui \(\displaystyle \alpha=20° \)
Da qui scaturisce immediatamente che :
\(\displaystyle ABC=ACB=2\cdot 2 0°=40°,BAC=180°-40-40°=100°\)
Complimenti...
Non mi ricordavo proprio il teorema della bisettrice, grazie per la soluzione...
Non mi ricordavo proprio il teorema della bisettrice, grazie per la soluzione...
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