Un gioco...trascendente
Due amici A e B si alternano a scrivere cifre binarie dopo il punto decimale, producendo un numero reale nell'intervallo [0,1]. A vince se il numero è trascendente e perde se è algebrico.
Superato lo scoglio di riuscire a fare nella realtà il gioco per il fatto che la scelta delle cifre binarie 0 e 1 si replica all'infinito, A può esser certo di vincere?
Superato lo scoglio di riuscire a fare nella realtà il gioco per il fatto che la scelta delle cifre binarie 0 e 1 si replica all'infinito, A può esser certo di vincere?
Risposte
questo problema mi rimanda ai tempi liceali, quando scoprimmo che esiste una funzione "random" basata sul (coseno?) di periodo totalmente arbitrario e casuale che non si ripete mai, A può far uso di tale funzione e per esempio prendere i valori di questa ad intervalli regolari a sua libera scelta e poi convertirli in binario e usare le cifre per aggiungere numeri. Oppure può servirsi delle cifre decimali di $pi$ sempre dopo averle trasformate in binario. è proprio dalla totale casualità delle cifre che scaturisce la trascendenza.
E pertanto la risposta è si, A vince sempre ?
Ma, per come è posto il problema, lo scoglio mi sembra insuperabile, anche concettualmente, cioè anche supponendo di avere un tempo infinito a disposizione.
Credo quindi convenga scommettere su B perchè finchè non si decide sono pari e quando si dovesse decidere vince B
Ma, per come è posto il problema, lo scoglio mi sembra insuperabile, anche concettualmente, cioè anche supponendo di avere un tempo infinito a disposizione.
Credo quindi convenga scommettere su B perchè finchè non si decide sono pari e quando si dovesse decidere vince B
eh no, lo scoglio è già stato superato, A se usa quelle cifre vince, B dovrebbe controdimostrare la trascendenza il che mi sembrerebbe un'impresa alquanto ardua...
Premesso che i due amici A e B che hanno deciso di fare questo gioco non sono del tutto sani di mente, la risposta è si, A può esser certo di vincere.
I numeri algebrici sono si infiniti ma infiniti numerabili (sono tanti quanti i numeri naturali) . Il giocatore A li elenca tutti diligentemente identificandoli con sequenze di cifre binarie e poi fa si' che la sequenza effettivamente risultante giocando con B abbia la prima cifra binaria diversa da quella del primo numero algebrico, la terza cifra binaria diversa da quella del secondo numero algebrico,..., la $(2n-1)$-esima cifra binaria diversa da quella dell'$n$-esimo numero algebrico e cosi' via all'infinito per $n=1,2,...$
I numeri algebrici sono si infiniti ma infiniti numerabili (sono tanti quanti i numeri naturali) . Il giocatore A li elenca tutti diligentemente identificandoli con sequenze di cifre binarie e poi fa si' che la sequenza effettivamente risultante giocando con B abbia la prima cifra binaria diversa da quella del primo numero algebrico, la terza cifra binaria diversa da quella del secondo numero algebrico,..., la $(2n-1)$-esima cifra binaria diversa da quella dell'$n$-esimo numero algebrico e cosi' via all'infinito per $n=1,2,...$
"Piera":
I numeri algebrici sono si infiniti ma infiniti numerabili (sono tanti quanti i numeri naturali)
Nei numeri algebrici non includi anche gli irrazionali?
mi intrometto:
fra i numeri algebrici ci sono anche gli irrazionali, ma la totalita' degli algebrici e' comunque numerabile, come dice Piera.
fra i numeri algebrici ci sono anche gli irrazionali, ma la totalita' degli algebrici e' comunque numerabile, come dice Piera.
"Giusepperoma":
mi intrometto:
fra i numeri algebrici ci sono anche gli irrazionali, ma la totalita' degli algebrici e' comunque numerabile, come dice Piera.
già infatti ogni algebrico è soluzione di un equazione a coefficienti interi $a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_nz^n$, dalla numerabilità di tutte le possibili equazioni a coefficienti interi di grado $n$ segue la numerabilità dei numeri algebrici.
Ciao!
aspettate aspettate.. cos'è la funzione random costruita sl coseno che diceva gaussz?
Ho capito,Piera
il trucco è il procedimento diagonale di Cantor, ma ,e questo è il punto a cui volevo arrivare, nel caso dei due amici non mi sembra possa funzionare.Perchè A ad un tempo qualsiasi,grande a piacere, sarà riuscito solo a scrivere un numero razionale.
Ma c'è una questione ben più sottile: supponiamo che A abbia in mano la lista ordinata dei numeri algebrici, NON SAREBBE COMUNQUE CAPACE DI COSTRUIRE IL NUMERO TRASCENDENTE DIAGONALE DI CANTOR E NON SOLO PERCHE' NON FINIREBBE MAI DI SCRIVERLO MA ANCHE PERCHE' A DISPONE SOLO DI META' DELLE SCELTE E, A MENO CHE B
NON ABBIA IN MANO LA STESSA LISTA E VOGLIA AIUTARLO, B POTREBBE FACILMENTE, ANCHE SCEGLIENDO A CASO, ROVINARGLI I PIANI. E qui la cosa si fa interessante perchè A
dovrebbe avere allora tutti gli ordinamenti possibili di tutti i numeri algebrici : sicuramente infinite liste ; ma una infinità numerabile o no?
il trucco è il procedimento diagonale di Cantor, ma ,e questo è il punto a cui volevo arrivare, nel caso dei due amici non mi sembra possa funzionare.Perchè A ad un tempo qualsiasi,grande a piacere, sarà riuscito solo a scrivere un numero razionale.
Ma c'è una questione ben più sottile: supponiamo che A abbia in mano la lista ordinata dei numeri algebrici, NON SAREBBE COMUNQUE CAPACE DI COSTRUIRE IL NUMERO TRASCENDENTE DIAGONALE DI CANTOR E NON SOLO PERCHE' NON FINIREBBE MAI DI SCRIVERLO MA ANCHE PERCHE' A DISPONE SOLO DI META' DELLE SCELTE E, A MENO CHE B
NON ABBIA IN MANO LA STESSA LISTA E VOGLIA AIUTARLO, B POTREBBE FACILMENTE, ANCHE SCEGLIENDO A CASO, ROVINARGLI I PIANI. E qui la cosa si fa interessante perchè A
dovrebbe avere allora tutti gli ordinamenti possibili di tutti i numeri algebrici : sicuramente infinite liste ; ma una infinità numerabile o no?
Nel gioco si ipotizza che si possa raggiungere l'infinito e che si possa sempre sapere se un numero è algebrico o trascendente (mi rendo conto che non è realistico).
I numeri algebrici sono infiniti numerabili e immaginiamo che A li abbia elencati tutti (questo è possibile visto che si ipotizza di raggiungere l'infinito) , quindi A che si suppone inizi il gioco sceglie la prima cifra diversa da quella del primo numero algebrico che ha inserito nella sua lista, a questo punto B inserisce la sua cifra. Quale che sia la cifra inserita da B in seconda posizione per A è indifferente visto che in terza posizione inserirà la cifra binaria diversa da quella del secondo numero algebrico della sua lista, poi starà di nuovo a B e cosi' via all'infinito...
Il numero che si sta costruendo è trascendente (sempre supponendo che si possa raggiungere l'infinito).
Metti che i primi tre numeri algebrici della lista di A siano (ricordo che sono numeri decimali e scrivo solo parte decimale senza virgola)
0011011....
1111101....
0101000....
Seguendo la strategia di A si ottiene
1Q0Q1Q....
dove con Q indico la qualsiasi cifra scelta da B,
le prime cifre di questo numero escludono i primi tre numeri algebrici della lista di A , proseguendo il ragionamento otterrò un numero trascendente.
I numeri algebrici sono infiniti numerabili e immaginiamo che A li abbia elencati tutti (questo è possibile visto che si ipotizza di raggiungere l'infinito) , quindi A che si suppone inizi il gioco sceglie la prima cifra diversa da quella del primo numero algebrico che ha inserito nella sua lista, a questo punto B inserisce la sua cifra. Quale che sia la cifra inserita da B in seconda posizione per A è indifferente visto che in terza posizione inserirà la cifra binaria diversa da quella del secondo numero algebrico della sua lista, poi starà di nuovo a B e cosi' via all'infinito...
Il numero che si sta costruendo è trascendente (sempre supponendo che si possa raggiungere l'infinito).
Metti che i primi tre numeri algebrici della lista di A siano (ricordo che sono numeri decimali e scrivo solo parte decimale senza virgola)
0011011....
1111101....
0101000....
Seguendo la strategia di A si ottiene
1Q0Q1Q....
dove con Q indico la qualsiasi cifra scelta da B,
le prime cifre di questo numero escludono i primi tre numeri algebrici della lista di A , proseguendo il ragionamento otterrò un numero trascendente.
Quello che ho scritto sopra, ora dovrebbe essere più chiaro.
GRAZIE, PIERA!
Sei stata chiarissima: dopo 2n passi il numero costruito non è sicuramente tra i primi n numeri della lista (dei numeri algebrici)
Però con l'infelice esempio delle liste infinite ( che hai facilmente e brillantemente aggirato) volevo mettere in evidenza come il procedimento diagonale di Cantor sembri in apparenza costruttivo, empirico, ma in realtà è deduttivo,o come dire,ideale. Nel senso che non trova il trascendente (avendo a disposizione anche un tempo infinito) ma la sua esistenza e questa è pur sempre legata alla totalità dei numeri algebrici visti nel loro insieme cosa che appartiene alla verità logica ma non empirica( così come lo è il ragguingere l'infinito ).
E questo interessante gioco (inventato o trovato da qualche parte?) lo mette proprio in evidenza, almeno credo. Ma non volendo fare filosofia mi viene in mente questo esempio
(spero meno infelice del primo):
Supponi che sia B a presentare ad A una lista di tutti gli algebrici ordinati ad es.
0000000....
1000000....
1010000....
1011000....
1011100....
o se preferisci scambiando 1 con 0; perchè trova quella di A troppo caotica.
A sembra non abbia motivi per rifiutarla ed inizia il gioco. Cosa accade ? Se non ho sbagliato dopo 2n passi A e B (avendo B,usato una strategia banale,che non specificio,perchè avrai già compreso ed A la sua strategia.) convengono che il numero scritto di 2n cifre non è uno dei primi n numeri algebrici della lista ma risulta avere tutte le sue cifre coincidenti con il 2n-numero della lista che è algebrico. Difficile per A sostenere che sta vincendo E questo vale per n grande a piacere ! (Anche se da un punto di vista logico posso dire che sta vincendo)
Mi sembra che A per convincere B debba dimostrare che la lista di B non è algebrica ma per farlo deve confrontarla con tutte le possibili liste(che supponiamo egli abbia) Ma questo credo lo possa fare se l'insieme di tutti gli ordinamenti possibili degli algebrici (le infinite liste) sono numerabili. E siamo tornati allo stesso punto : sono numerabili?
Scusa se ti ho fatto perdere tempo, potrei benissimo aver detto cavolate. Quindi lascia pure perdere.
Semmai visto che mi sembri esperta potresti dirmi se l"insieme di tutti i sottoinsiemi di N ,cioè
il numero delle parti di N è numerabile?
Sei stata chiarissima: dopo 2n passi il numero costruito non è sicuramente tra i primi n numeri della lista (dei numeri algebrici)
Però con l'infelice esempio delle liste infinite ( che hai facilmente e brillantemente aggirato) volevo mettere in evidenza come il procedimento diagonale di Cantor sembri in apparenza costruttivo, empirico, ma in realtà è deduttivo,o come dire,ideale. Nel senso che non trova il trascendente (avendo a disposizione anche un tempo infinito) ma la sua esistenza e questa è pur sempre legata alla totalità dei numeri algebrici visti nel loro insieme cosa che appartiene alla verità logica ma non empirica( così come lo è il ragguingere l'infinito ).
E questo interessante gioco (inventato o trovato da qualche parte?) lo mette proprio in evidenza, almeno credo. Ma non volendo fare filosofia mi viene in mente questo esempio
(spero meno infelice del primo):
Supponi che sia B a presentare ad A una lista di tutti gli algebrici ordinati ad es.
0000000....
1000000....
1010000....
1011000....
1011100....
o se preferisci scambiando 1 con 0; perchè trova quella di A troppo caotica.
A sembra non abbia motivi per rifiutarla ed inizia il gioco. Cosa accade ? Se non ho sbagliato dopo 2n passi A e B (avendo B,usato una strategia banale,che non specificio,perchè avrai già compreso ed A la sua strategia.) convengono che il numero scritto di 2n cifre non è uno dei primi n numeri algebrici della lista ma risulta avere tutte le sue cifre coincidenti con il 2n-numero della lista che è algebrico. Difficile per A sostenere che sta vincendo E questo vale per n grande a piacere ! (Anche se da un punto di vista logico posso dire che sta vincendo)
Mi sembra che A per convincere B debba dimostrare che la lista di B non è algebrica ma per farlo deve confrontarla con tutte le possibili liste(che supponiamo egli abbia) Ma questo credo lo possa fare se l'insieme di tutti gli ordinamenti possibili degli algebrici (le infinite liste) sono numerabili. E siamo tornati allo stesso punto : sono numerabili?
Scusa se ti ho fatto perdere tempo, potrei benissimo aver detto cavolate. Quindi lascia pure perdere.
Semmai visto che mi sembri esperta potresti dirmi se l"insieme di tutti i sottoinsiemi di N ,cioè
il numero delle parti di N è numerabile?
colgo l'occasione per ricordare a tutti, se non lo sapevano già, che la trascendenza è una causa del teorema di ?Goethel? sulla logica, quando si può dimostrare che non si può dimostrare che la cifra successiva di un numero irrazionale può essere calcolata, a causa della rapidità con cui la serie converge, quindi la mia prima risposta era più che giusta.
http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html
http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html
Cerco di rispondere a tutte le domande che hai fatto:
il gioco non me lo sono inventato cosi' come la soluzione che ho scritto;
i numeri algebrici sono numerabili, questo è stato scoperto da Cantor;
la tua strategia forse potrebbe funzionare, però A non è tenuto ad usare la lista di B;
l'insieme di tutti i sottoinsiemi di N non è numerabile, è stato dimostrato che ha la potenza del continuo, cioè pari ai numeri reali.
il gioco non me lo sono inventato cosi' come la soluzione che ho scritto;
i numeri algebrici sono numerabili, questo è stato scoperto da Cantor;
la tua strategia forse potrebbe funzionare, però A non è tenuto ad usare la lista di B;
l'insieme di tutti i sottoinsiemi di N non è numerabile, è stato dimostrato che ha la potenza del continuo, cioè pari ai numeri reali.
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