Un curioso cerchio
Su di un sito francese ho trovato il seguente enuciato:
Soit un carré de 7 cm de coté. On place à l'intérieur du carré au hasard 51 points. Démontrer qu'il existe au moins un cercle de rayon 1 cm qui contient au moins 3 de ces points.
Merci de votre aide
Ecco la (facile e forse non necessaria) traduzione:
Sia dato un quadrato di 7cm di lato.Vengono posti a caso all'interno del quadrato 51 punti.Dimostrare che esiste almeno un cerchio di raggio 1cm che contiene almeno 3 di questi punti.
Grazie per il vostro aiuto.
Chi vuole aiutare il cugino francese?
karl.
Soit un carré de 7 cm de coté. On place à l'intérieur du carré au hasard 51 points. Démontrer qu'il existe au moins un cercle de rayon 1 cm qui contient au moins 3 de ces points.
Merci de votre aide
Ecco la (facile e forse non necessaria) traduzione:
Sia dato un quadrato di 7cm di lato.Vengono posti a caso all'interno del quadrato 51 punti.Dimostrare che esiste almeno un cerchio di raggio 1cm che contiene almeno 3 di questi punti.
Grazie per il vostro aiuto.
Chi vuole aiutare il cugino francese?
karl.
Risposte
karl,
probabilmente sto prendendo una cantonata clamorosa ma dal ragionamento che ho fatto sembrerebbero bastare solo 37 punti disposti a casaccio sul quadrato di lato 7x7 per garantire la certezza che almeno un cerchio di raggio 1 ne contenga 3. Comunque, come già detto, non sono sicuro del ragionamento seguito. Prima di postarlo in dettaglio voglio ragionarci ancora un po' sopra.
Cordiali Saluti,
Marcello
Edit:
Come non detto. Ho appena trovato una falla nel ragionamento. Adesso ricomincio daccapo.
Marcello
P.S. ho anche corretto la pessima grammatica di questo post che ieri ho scritto di getto.
Modificato da - Jeckyll il 11/01/2004 09:48:58
probabilmente sto prendendo una cantonata clamorosa ma dal ragionamento che ho fatto sembrerebbero bastare solo 37 punti disposti a casaccio sul quadrato di lato 7x7 per garantire la certezza che almeno un cerchio di raggio 1 ne contenga 3. Comunque, come già detto, non sono sicuro del ragionamento seguito. Prima di postarlo in dettaglio voglio ragionarci ancora un po' sopra.
Cordiali Saluti,
Marcello
Edit:
Come non detto. Ho appena trovato una falla nel ragionamento. Adesso ricomincio daccapo.
Marcello
P.S. ho anche corretto la pessima grammatica di questo post che ieri ho scritto di getto.
Modificato da - Jeckyll il 11/01/2004 09:48:58
Riporto di seguito in dettaglio il ragionamento che mi ha portato a concludere che sono sufficienti solo 37 punti sul quadrato di lato 7 affinché esista almeno un cerchio di raggio 1 che contenga almeno 3 punti.
Non sono particolarmente soddisfatto del ragionamento: ho individuato almeno 2 punti deboli (che ho tra l'altro evidenziato nel testo stesso della spiegazione) e non sono certo che non ve ne siano altre (doppia negazione, chiedo scusa).
Il tutto è un po' lungo e me ne scuso. Probabilmente esisterà qualche altra dimostrazione parecchio più veloce, ma è senz'altro al di fuori della mia portata
Questo è il link alla spiegazione dettagliata.
Cordiali Saluti,
Marcello
Non sono particolarmente soddisfatto del ragionamento: ho individuato almeno 2 punti deboli (che ho tra l'altro evidenziato nel testo stesso della spiegazione) e non sono certo che non ve ne siano altre (doppia negazione, chiedo scusa).
Il tutto è un po' lungo e me ne scuso. Probabilmente esisterà qualche altra dimostrazione parecchio più veloce, ma è senz'altro al di fuori della mia portata
Questo è il link alla spiegazione dettagliata.
Cordiali Saluti,
Marcello
Jeckyll,come sempre le tue risposte sono molto analitiche
ed approfondite (ricordo la tua soluzione sul problema
dell'equilibrio).Per questo la tua soluzione puo' sicuramente
essere un ottimo punto di partenza per successivi affinamenti
postati da altri amici del forum.
Il mio contributo e' limitato alla segnalazione del sito dove
ho trovato il quesito:www.cmathematique.com nella sezione "Forum".
Qui si parla di un particolare principio ,detto curiosamente
dei cassetti,con il quale il problema del cerchio viene
apparentemente risolto.
Apparentemente,perche' poi a mio avviso si sposta la questione
su di un'altro problema,anche se di carattere piu' generale
(sembra un problema di topologia... sai la consolazione).
Ricambio i saluti e.. buona caccia.
karl.
ed approfondite (ricordo la tua soluzione sul problema
dell'equilibrio).Per questo la tua soluzione puo' sicuramente
essere un ottimo punto di partenza per successivi affinamenti
postati da altri amici del forum.
Il mio contributo e' limitato alla segnalazione del sito dove
ho trovato il quesito:www.cmathematique.com nella sezione "Forum".
Qui si parla di un particolare principio ,detto curiosamente
dei cassetti,con il quale il problema del cerchio viene
apparentemente risolto.
Apparentemente,perche' poi a mio avviso si sposta la questione
su di un'altro problema,anche se di carattere piu' generale
(sembra un problema di topologia... sai la consolazione).
Ricambio i saluti e.. buona caccia.
karl.
In realta' sbagliavo:non si tratta di un problema di topologia
ma di... aritmetica spicciola.
Dividiamo il quadrato in 25 quadratini di lato sqrt(2)(infatti,a
meno di qualche centesimo,25*(1.4^2)=49 cm^2) oguno dei quali si puo'
considerare inscritto in un cerchio di raggi 1cm.Ora ,disponendo
a caso i 51 punti sui 25 quadratini,possono capitare due cose:
1)I punti si distribuiscono in numero (quasi) uguale e
cioe' in 24 quadratini vi saranno 2 punti e nel quadratino
rimanente gli altri tre punti(e quindi anche nel cerchio
di raggio 1cm ad esso circoscritto) .
2)I punti si distribuiscono in numero diseguale:in tal
caso e' certo che in almeno un quadratino capiteranno
tre punti o piu'(e quindi anche nel cerchio
di raggio 1cm ad esso circoscritto) .
In ogni caso l'assunto e' vero.
Il principio dei cassetti di cui si parla nel sito francese
ha il seguente enunciato:
siano n e k due interi positivi,allora se n*k+1 oggetti sono
distribuiti a caso in n cassetti almeno un cassetto conterra'
k+1 oggetti.
Nel nostro caso,essendo 51=25*2+1,risulta n=25 e k=2
(il contrario sarebbe banale) e dunque ne scaturisce quanto detto sopra.
karl.
Modificato da - karl il 16/01/2004 16:49:40
ma di... aritmetica spicciola.
Dividiamo il quadrato in 25 quadratini di lato sqrt(2)(infatti,a
meno di qualche centesimo,25*(1.4^2)=49 cm^2) oguno dei quali si puo'
considerare inscritto in un cerchio di raggi 1cm.Ora ,disponendo
a caso i 51 punti sui 25 quadratini,possono capitare due cose:
1)I punti si distribuiscono in numero (quasi) uguale e
cioe' in 24 quadratini vi saranno 2 punti e nel quadratino
rimanente gli altri tre punti(e quindi anche nel cerchio
di raggio 1cm ad esso circoscritto) .
2)I punti si distribuiscono in numero diseguale:in tal
caso e' certo che in almeno un quadratino capiteranno
tre punti o piu'(e quindi anche nel cerchio
di raggio 1cm ad esso circoscritto) .
In ogni caso l'assunto e' vero.
Il principio dei cassetti di cui si parla nel sito francese
ha il seguente enunciato:
siano n e k due interi positivi,allora se n*k+1 oggetti sono
distribuiti a caso in n cassetti almeno un cassetto conterra'
k+1 oggetti.
Nel nostro caso,essendo 51=25*2+1,risulta n=25 e k=2
(il contrario sarebbe banale) e dunque ne scaturisce quanto detto sopra.
karl.
Modificato da - karl il 16/01/2004 16:49:40
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