Un calcolo ...per tutti
Siano a,b,c 3 numeri reali.
Sapendo che :
${(a+b+c=3sqrt2-sqrt3),(ab+bc+ca=7-2sqrt6):}$
quanto vale l'espressione $(ab)/(a^2+b^2)+(bc)/(b^2+c^2)+(ca)/(c^2+a^2)$ ?
karl
Sapendo che :
${(a+b+c=3sqrt2-sqrt3),(ab+bc+ca=7-2sqrt6):}$
quanto vale l'espressione $(ab)/(a^2+b^2)+(bc)/(b^2+c^2)+(ca)/(c^2+a^2)$ ?
karl
Risposte
Penso che sia così.
Prendo i quadrati dei due membri della prima
equazione e trovo:
$(a+b+c)^2 = 3cdot(7-2\sqrt{6}) = a^2+b^2+c^2+2cdot(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2+2cdot(7-2\sqrt{6})$
Questo, però, significa che:
$a^2+b^2+c^2 = 7-2\sqrt{6} = ab+ac+bc$
ossia, moltiplicando per $2$ il primo e l'ultimo
membro:
$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 =0$.
Trattandosi di numeri reali, questa uguaglianza
è soddisfatta solo se i quadrati a sinistra sono
tutti nulli, cioè quando abbiamo, nello stesso
tempo:
$a^2+b^2=2ab $ $ \to $ $ (ab)/(a^2+b^2)=1/2$
$a^2+c^2=2ac $ $ \to $ $ (ac)/(a^2+c^2)=1/2$
$b^2+c^2=2bc $ $ \to $ $ (bc)/(b^2+c^2)=1/2$
con $a$, $b$ e $c$ chiaramente diversi da zero.
Dunque:
$(ab)/(a^2+b^2)+(ac)/(a^2+c^2)+(bc)/(b^2+c^2) = 3/2$.
Come sempre: salvo sviste.
----------
Poscritto - Se trovo un po' di tempo, Karl,
provo a pensare anche al tuo problema di
geometria, che peraltro mi piace moltissimo.
Ma nei problemi geometrici mi piace anche
fare dei disegni decenti su cui si possa
ragionare e questo porta via, immancabilmente,
diversi quarti d'ora (che già son pochi e,
senza poter usare dei programmi di grafica,
si bruciano ancor più in fretta - scrivo perlopiù
dal lavoro).
In ogni caso, anche quando non riesco a
rispondere, ti seguo sempre con molto interesse!
A presto
Prendo i quadrati dei due membri della prima
equazione e trovo:
$(a+b+c)^2 = 3cdot(7-2\sqrt{6}) = a^2+b^2+c^2+2cdot(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2+2cdot(7-2\sqrt{6})$
Questo, però, significa che:
$a^2+b^2+c^2 = 7-2\sqrt{6} = ab+ac+bc$
ossia, moltiplicando per $2$ il primo e l'ultimo
membro:
$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 =0$.
Trattandosi di numeri reali, questa uguaglianza
è soddisfatta solo se i quadrati a sinistra sono
tutti nulli, cioè quando abbiamo, nello stesso
tempo:
$a^2+b^2=2ab $ $ \to $ $ (ab)/(a^2+b^2)=1/2$
$a^2+c^2=2ac $ $ \to $ $ (ac)/(a^2+c^2)=1/2$
$b^2+c^2=2bc $ $ \to $ $ (bc)/(b^2+c^2)=1/2$
con $a$, $b$ e $c$ chiaramente diversi da zero.
Dunque:
$(ab)/(a^2+b^2)+(ac)/(a^2+c^2)+(bc)/(b^2+c^2) = 3/2$.
Come sempre: salvo sviste.
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Poscritto - Se trovo un po' di tempo, Karl,
provo a pensare anche al tuo problema di
geometria, che peraltro mi piace moltissimo.
Ma nei problemi geometrici mi piace anche
fare dei disegni decenti su cui si possa
ragionare e questo porta via, immancabilmente,
diversi quarti d'ora (che già son pochi e,
senza poter usare dei programmi di grafica,
si bruciano ancor più in fretta - scrivo perlopiù
dal lavoro).
In ogni caso, anche quando non riesco a
rispondere, ti seguo sempre con molto interesse!
A presto
Benissimo Bruno!
Ed ora la geometria: c'e' il Signor Menelao che mostra un po' d'impazienza...
Saluti.
karl
Ed ora la geometria: c'e' il Signor Menelao che mostra un po' d'impazienza...
Saluti.
karl
Devo dire che le soluzioni elementari che Bruno spesso dà sono molto molto belle (non mi riferisco solo a questo problema).
Grazie a tutti
Ciao a tutti,
mi sbaglio o da ciò si può affermare che l'equazione di terzo grado in x: $x^3-(3\sqrt(2)-sqrt(3))x^2+(7-2\sqrt(6))x+t=0$ , al variare di t nell'insieme dei numeri reali, o ammette due radici complesse coniugate e una reale o ammette "tre radici reali coincidenti" (o, ciò che è lo stesso, se non ammette radici non reali, allora ha radici coincidenti)?
mi sbaglio o da ciò si può affermare che l'equazione di terzo grado in x: $x^3-(3\sqrt(2)-sqrt(3))x^2+(7-2\sqrt(6))x+t=0$ , al variare di t nell'insieme dei numeri reali, o ammette due radici complesse coniugate e una reale o ammette "tre radici reali coincidenti" (o, ciò che è lo stesso, se non ammette radici non reali, allora ha radici coincidenti)?
Ciao, spiego meglio il mio post precedente. L'osservazione in esso contenuta permette di dimostrare il risultato in un modo diverso da quello (molto bello, concordo con Tom SawYer, aggiungo i miei complimenti a Bruno) di Bruno. Per ogni t il polinomio di terzo grado considerato ha derivata non negativa (conto banale, viene un quadrato di binomio) e, dunque, interseca l'asse x in un solo punto. Ne segue che se esso ammette 3 soluzioni reali, esse devono essere coincidenti. Ecco perchè a=b=c. Il proseguio è ovvio. L'aspetto, forse, però, più interessante è che la conclusione sul polinomio data da me nel precedente post, può essere provata senza l'ausilio della derivata ma usando la dim. elementare di Bruno (in effetti, quando nel precedente post dico "si può affermare....." intendo dire l'equivalenza tra il fatto provato da Bruno e la conclusione sul polinomio).
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