Uguaglianze prod e sum

[carlo232]

Eccovi due belle uguaglianze da dimostrare

$prod_(k=1)^infty (1-1/(2^k)) = sum_(n=2)^infty (-1)^n/((2^2-1)(2^3-1)(2^4-1)...(2^n-1))$

$prod_(k=1)^infty (1-1/(2^k)) =e^(-sum_(n=1)^infty 1/(n(2^n-1)))

ovviamente cercando di generalizzare

Ciao Ciao

[eafkuor1]

Diario di Ramanujan eh?

[carlo232]

"eafkuor":Diario di Ramanujan eh?

No, le ho trovate per caso in un articolo che parlava della ricerca nei database... citava anche la costante di Erdos, però era in inglese ora non ho più il link.

[carlo232]

"carlo23":

$prod_(k=1)^infty (1-1/(2^k)) =e^(-sum_(n=1)^infty 1/(n(2^n-1)))

ovviamente cercando di generalizzare

Ciao Ciao

consideriamo $|z|<1$ allora abbiamo

$sum_(n=1)^infty ln(1-z^n) = - sum_(n=1)^infty sum_(k=1)^infty (z^(nk))/k=-sum_(n=1)^infty (sigma(n)z^n)/(n)$

dove $sigma(n)=sum_(d|n) d$. Abbiamo quindi

$ln(prod_(n=1)^infty (1-z^n))=-sum_(n=1)^infty (sigma(n)z^n)/(n)$

prendendo l'esponenziale di ambo i membri

$prod_(n=1)^infty (1-z^n)=e^(-sum_(n=1)^infty (sigma(n)z^n)/(n))$

del resto

$-sum_(n=1)^infty (z^n)/(n(1-z^n))=-sum_(n=1)^infty sum_(k=1)^infty (z^(kn))/n = -sum_(n=1)^infty (sigma(n)z^n)/(n)$

e l'uguaglianza da dimostrare segue ponendo $z=1/2$.

Ciao Ciao