Trovare l'errore.

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L'obbiettivo è trovare l'errore in questo ragionamento:
Considerando l'equazione \( x^2+x+1=0 \)
Da un lato scriviamo \( x=-1-x^2\).
D'altra parte dividendo per \( x \) l'equazione iniziale troviamo \( x+1 + 1/x =0 \) e dunque \( x= -1 - 1/x \)
Comparando le due espressioni ottenute per \(x \) segue che \( x^2 = 1/x\), Pertanto deduciamo che \( x^3=1 \) e \( x=1\).
Dunque \(x=1 \) è soluzione dell'equazione iniziale.

[axpgn]

Da un'ipotesi falsa puoi dedurre tutto quello che vuoi

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"axpgn":

Da un'ipotesi falsa puoi dedurre tutto quello che vuoi

Quale ipotesi falsa?

[axpgn]

Per qualsiasi valore di $x$, è sempre falso che l'espressione $x^2+x+1$ sia pari a zero.

[Palliit]

@axpgn: pensavo anch'io che l'inghippo fosse quello, ma mi è bastato un controesempio per smontare la congettura. Per non parlare poi dell'eventualità che $x in CC$.

Se provi a rifare il giochino con:$" (1) "x^2-x-1=0" "to" "x=x^2-1" e "x=1+1/x" "$ottieni l'equazione:$" "x^2-1=1+1/x" "to" "x^3-2x-1=0" "$, che oltre alle soluzioni della (1) ha anche una terza soluzione,$" "x=-1" "$, che non è soluzione della (1).

Quindi evidentemente il problema è un altro.

[axpgn]

@Palliit
Non sono la stessa cosa ... la sua è falsa in partenza e quindi ne può discendere qualsiasi cosa, la tua no, ha soluzioni quindi è vera.
La terza soluzione è soluzione solo dell'ultima equazione ma non delle due da cui discende quindi l'inghippo dovrebbe stare qui

[axpgn]

Detto in altro modo: i principi di equivalenza non affermano che date due equazioni equivalenti ad una terza (intendo la prima in questo caso) se poi messe a sistema tra loro , garantiscano le stesse soluzioni dell'equazione originale

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"axpgn":

Per qualsiasi valore di $ x $, è sempre falso che l'espressione $ x^2+x+1 $ sia pari a zero.

Non ho detto che l'espressione ha un valore per $ x $ che la rende pari a zero, quindi non c'è un ipotesi falsa. L'errore è un altro e si trova nel ragionamento (evidentemente falso in quanto si trova un valora reale che annulli l'espressione). Se un ragionamento non è fallacie avremmo dovuto concludere che non possiede radici reali. L'errore è quello che dici nel altro commento...

"axpgn":

Detto in altro modo: i principi di equivalenza non affermano che date due equazioni equivalenti ad una terza (intendo la prima in questo caso) se poi messe a sistema tra loro , garantiscano le stesse soluzioni dell'equazione originale

La risposta giusta è quella che hai dato sui principi di equivalenza. Infatti
$ x^2+x+1=0$ (1)
$ x^2 + x+1=0 \Leftrightarrow x=-1-x^2 $ (2)
$ x^2 + x+1=0 \Leftrightarrow x=-1-1/x $ (3)
$x=-1-x^2 $ e $x=-1-1/x \Rightarrow -1-x^2 =-1-1/x$ (4)

In altre parole abbiamo implicazione in una direzione e non equivalenza. (1), (2), (3) sono equivalenti, (2) e (3) implicano (4). L'errore sta nel dire che una soluzione di (4) è soluzione di (2) e (3).
$x=1$ soddisfa (4) ma non soddisfa (1),(2),(3). Però ad esempio soddisfa
$-2x=-1-x^2 $ e $ -2x=-1-1/x $

[axpgn]

"3m0o":Non ho detto che l'espressione ha un valore per $ x $ che la rende pari a zero, quindi non c'è un ipotesi falsa.

Certo che c'è, tu hai fatto un'affermazione, questa $x^2+x+1=0$, che può essere vera o falsa e di fatto è sempre falsa ($x$ reale ovviamente) quindi il resto dell'implicazione può valere qualsiasi cosa. Diversa è l'equazione di Palliit per la quale il problema è quello detto.

[Drazen77]

L'errore è nella domanda:
come può $x^2+x+1$ essere uguale a $0$ ?
$x^2+x=-1$ ?!
Come può un numero $x$, sommato al suo quadrato $x^2$, essere uguale a $-1$?

[veciorik]

[1] L'equazione di 2° grado $ \quad f(x)=x^2+x+1=0 \quad $ ha 2 radici complesse $ \quad x=(-1\pm i sqrt(3))/2 \quad $ con $ \quad i=sqrt(-1)$

[2] L'equazione fratta $ \quad f(x)/x=x+1+1/x=0 \quad $ ha le medesime 2 radici della suddetta [1].

[3] Ovviamente l'equazione $ \quad f(x)/x=f(x) \quad $ ha ancora le 2 radici di $ \quad f(x)=0 \quad $,

oltre alla radice banalissima $ \quad x=1 \quad $ per cui $ \quad f(x)/1=f(x) \quad $ è vero sempre, per qualsiasi $ \quad f(x)$

[4] Riscritta la [3] come equazione di 3° grado $ \quad f(x)=x*f(x) \ $, deve avere 3 radici complesse

[andomito]

Semplicemente combinando le due forme dell'equazione ne ho aumentato di un grado (x^3) la complessità, introducendo una soluzione fittizia (x=1) accanto alle altre due soluzioni corrette [x= - 1/2 +- i /2*(3)^1/2 ] nel campo dei numeri complessi, che risolvono sia l'equazione di partenza, sia quella improvvidamente mutata.
E' come quando scrivo x=2 => x^2=4. Non è un errore, ma devo ricordarmi che così ho introdotto una soluzione (x=-2) originariamente assente.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Scusate ma $x^3=1$ non implica mica $x=1$

[axpgn]

Nei reali mi pare proprio che sia vero e penso che il quesito che ha posto l'OP si riferisse a tale ambito ... IMHO

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Si \( x^3=1 \) implica che \( x=1 \)
e comunque

Sono d'accordo con axpgn, che con un ipotesi falsa si può concludere quello che si vuole. Quindi ci sono due errori. A me interessava l'altro errore, quello sui principi di equivalenza. Lo reputo più interessante

[veciorik]

Lasciamo perdere il dominio, reali o complessi.
La mossa di prestidigitazione, abilmente camuffata, sta nella moltiplicazione per $ \quad (x-1) \quad$ dell'equazione

[ 1 ] $ \quad x^2+x+1=0 \quad $ che conduce a

[ 2 ] $ \quad (x-1)(x^2+x+1) \quad = \quad x^3-1 \quad = 0$

La soluzione $ \quad x=1 \quad $ della [ 2 ] è stata aggiunta dalla moltiplicazione, ma non era soluzione della [ 1 ] .