Trova il Minimo

[Mistral2]

Sia $n$ un intero positivo, definiamo:

$f(n)=1^n+2^{n-1}+...+(n-2)^3+(n-1)^2+n$

qual'è il minimo di $f(n+1)/f(n)$ ?


Saluti

Mistral

[Nidhogg]

Il minimo si ha per $n=2$.

[Mistral2]

"leonardo":Il minimo si ha per $n=2$.

Ok per $n=2$ qualcuno lo sa dimostrare?


Mistral

[Sk_Anonymous]

In base alla disuguaglianza di Chebychev: $f(n+1) \ge \frac{1}{n+1} (1^n + 2^{n-1} + ... + n + 1)(1 + 2 + ... + n+1) > \frac{n+2}{2} f(n)$, e perciò $R(n) := f(n+1)/f(n) > (n+2)/2$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$. Dunque $R(n) > 3$, se $n$ è un intero $\ge 4$. D'altro canto, si calcola speditamente che $R(1) = f(2) = 1^2 + 2 = 3$; $R(2) = (1^3 + 2^2 + 3)/f(2) = 8/3 < R(1)$ ed $R(3) = (1^4 + 2^3 + 3^2 + 4)/f(3) = 11/4 > R(2)$. Le conclusioni a questo punto si tirano da sé...