Trigonometricamente...

[fu^2]

dimostrare che la funzione $y=asin^2x+bsinxcosx+fcos^2x$dia per grafico una sinusoide, con a b e f dei numeri reali diversi da zero.

[mircoFN1]

perchè solo interi?

[fu^2]

scusa volevo scrivere reali nn interi... mi son confuso scrivendo

[fu^2]

nessuno si azzarda a risolverrlo?

è un esercizio del secondo quesito del PNI...

io l'ho risolto in un modo, però nn so se va bene...

[vl4dster]

Posso dare per fatto noto che una combinazione lineare di $sin(x)$ e $cos(x)$ e' ancora una sinusoide? In generale vale
$asin(x) + bcos(x) = \sqrt(a^2 + b^2)sin(x + \phi)$ per un $\phi$ che non mi ricordo com'e' fatto (ma c'era l' $arctan(b/a)$)

Se si,

$y(x) = asin(x)^2 +bsin(x)cos(x) + fcos(x)^2 = asin(x)^2 +b/2sin(2x) + fcos(x)^2 =$ (formula di duplicazione $sin(2x)$)
$= f + (a-f)sin(x)^2 +b/2sin(2x) =$ ($cos^2 = 1-sin^2$)
$= f + (a-f)/2 + [(a-f)/(-2) -2sin(x)^2(a-f)/(-2)] + b/2sin(2x) =$
pongo
$A = f+(a-f)/2$ $B=((a-f)/(-2))$ $C = b/2$
$= A + B(1-2sin(x)^2) + b/2sin(2x) =$
$= A + B(cos(2x)) + Csin(2x) =$
$= A + B(cos(u)) + Csin(u)$ con $u=2x$ che per quanto detto sopra e' una sinusoide traslata di A nell'asse
delle ordinate

[fu^2]

"vl4d":
$asin(x) + bcos(x) = \sqrt(a^2 + b^2)sin(x + \phi)$ per un $\phi$ che non mi ricordo com'e' fatto (ma c'era l' $arctan(b/a)$)
e

non ho capito questo passaggio...

io l'avevo risolto così invece :

$sin^2x=1-cos^2x$

sostituendo ottengo
$asin^2x+b/2sin2x+f-fsin^2x=y$
$(a-f)sin^2x+b/2sin2x+f=y$
se 2x=g
$(a-f)sin^2g/2+b/2sing+f=y$
$(a-f)(1-cosg)/2+b/2sing+f=y$
che è ancora una sinusoide... xò nn son sicuro che andava bene...

[vl4dster]

purtroppo non mi ricordo esattamente come si dimostra pero' so che quella formula vale, ovvero: una combinazione lineare di seno coseno e' una sinusoide con quella forma.

[mircoFN1]

Per la 'dimostrazione' basta ricordare che:
$\sin(x+\phi)=sinx*cos\phi+cosx*sin\phi$ e porre $A=cos\phi$ e $B=sin\phi$

ciao