Triangolo equilatero

[xXStephXx]

Sia dato un triangolo equilatero $ABC$ ed un punto $P$ interno ad esso tale che $PA=5$, $PB=4$, $PC=3$.
Qual è la lunghezza del lato del triangolo?
(Evitare di usare la trigonometria)

[Sk_Anonymous]

$6$

[xXStephXx]

Non ricordo il risultato a memoria e purtroppo qua non posso scrivere.. Ma non sono sicuro fosse $6$ ed in ogni caso metti i passaggi.

[Gaussman]

ricordo la soluzione sintetica di questo problema e posso affermare che o usi la trigonometria o ti devi far venire un'idea folle

[xXStephXx]

Vada per l'idea folle! Tanto siete tutti bravi ruotatori di figure vero?

[vittorino70]

Costruiamo su PC il triangolo equilatero PCD come indicato in figura e congiungiamo D con A e C. I triangoli ACD e BCP sono congruenti perché è CD=CP=3, AC=BC e perché gli angoli ACD e BCP sono congruenti in quanto ciascuno di essi, sommato all'angolo ACP, dà come totale 60°. Ne segue che AD=BP=4 e quindi il triangolo ADP , avendo i lati di misura 3-4-5, è rettangolo in D. A questo punto la misura del lato AC si potrebbe ricavare applicando il teorema di Carnot al triangolo ACD in cui è : AD=4, CD=3, ADC=90°+60°=150°. Non essendo consentito l'uso della trigonometria, dobbiamo aggirare la questione osservando che, detta H la proiezione ortogonale di C sulla retta AD, il triangolo rettangolo DCH risulta la metà di un triangolo equilatero e dunque è :
\(\displaystyle CH=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2},DH=\sqrt{CD^2-CH^2}=\frac{3}{2}\sqrt3\)
\(\displaystyle AH=AD+DH=4+\frac{3}{2}\sqrt3 \)
\(\displaystyle AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{25+12\sqrt3} \)

[xXStephXx]

Ok va bene! E hai usato pure l'idea folle! xD