Triangoli sulla scacchiera
A chiunque voglia cimentarsi in un problema relativo al calcolo combinatorio.
Questo è in problema della finale internazionale del 2006 (seconda giornata)
"Matilde fa osservare a Mattia che vi sono 76 maniere diverse di disporre tre pedoni non allineati su di una scacchiera 3x3, in modo che una casella contenga un solo pedone.
"E allora'Y' gli chiede Mattia. "Se si moltiplica questo numero per 5, si ottiene il prodotto delle nostre eta, ovvero ii prodotto di 19 e 20".
Mattia riflette un attimo, poi fa osservare a Matilde che so si moltiplica per 5 il numero delle maniere diverse di disporre tre pedoni non allineati su di una scacchiera 8x8, si ottiene un numero notevole.
Qual è questo numero?"
Ho provato a risolverlo.
Il totale dei modi di disporre 3 pedine sulla scacchiera 8x8 è pari alle combinazioni di 64 elementi presi tre alla volta = 41664.
Ho poi calcolato il totale dei modi di inserire le pedine in modo allineato sulla scacchiera: su ogni riga della scacchiera ci sono 6 modi e le righe totali sono 8 in orizzontale e 8 in verticale. Il totale dei modi che ho ottenuta è risultata essere 6 x 8 x 2 =96.
Ho calcolato poi il numero di modi di inserire le tre pedine in modo allineato lungo le diagonali: 6 sulla diagonale principale, poi 5 sulle diagonali adiacenti, poi 4 su quelle vicine, poi 3 su quelle successive, poi 2 ed infine 1 possibilità quando si raggiunge la diagonale del quadrato 3x3. In totale ho ottenuto 6 + (5+4+3+2+1) x2 = 36.
Ripetendo lo stesso ragionamento sulla seconda diagonale, il totale dei modi di disporre le pedine in modo allineato lungo le diagonali mi è risultato: 36 x 2 = 72.
Quindi il totale dei modi di posizionare le pedine in modo allineato sulla scacchiera è risultato: 96+72 = 168.
Quindi le pedine potranno essere disposte in modo non allineato in 41664 - 168 = 41496 modi.
Dovendo moltiplicare per 5 questo risultato, la risposta che ho ottenuto è 207480, mentre quella che dovrebbe essere corretta è 200600.
Ci sono altri modi di posizionare le tre pedine in modo allineato sulla scacchiera che non ho considerato?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia dedicarsi alla soluzione del problema.
RobStam
Questo è in problema della finale internazionale del 2006 (seconda giornata)
"Matilde fa osservare a Mattia che vi sono 76 maniere diverse di disporre tre pedoni non allineati su di una scacchiera 3x3, in modo che una casella contenga un solo pedone.
"E allora'Y' gli chiede Mattia. "Se si moltiplica questo numero per 5, si ottiene il prodotto delle nostre eta, ovvero ii prodotto di 19 e 20".
Mattia riflette un attimo, poi fa osservare a Matilde che so si moltiplica per 5 il numero delle maniere diverse di disporre tre pedoni non allineati su di una scacchiera 8x8, si ottiene un numero notevole.
Qual è questo numero?"
Ho provato a risolverlo.
Il totale dei modi di disporre 3 pedine sulla scacchiera 8x8 è pari alle combinazioni di 64 elementi presi tre alla volta = 41664.
Ho poi calcolato il totale dei modi di inserire le pedine in modo allineato sulla scacchiera: su ogni riga della scacchiera ci sono 6 modi e le righe totali sono 8 in orizzontale e 8 in verticale. Il totale dei modi che ho ottenuta è risultata essere 6 x 8 x 2 =96.
Ho calcolato poi il numero di modi di inserire le tre pedine in modo allineato lungo le diagonali: 6 sulla diagonale principale, poi 5 sulle diagonali adiacenti, poi 4 su quelle vicine, poi 3 su quelle successive, poi 2 ed infine 1 possibilità quando si raggiunge la diagonale del quadrato 3x3. In totale ho ottenuto 6 + (5+4+3+2+1) x2 = 36.
Ripetendo lo stesso ragionamento sulla seconda diagonale, il totale dei modi di disporre le pedine in modo allineato lungo le diagonali mi è risultato: 36 x 2 = 72.
Quindi il totale dei modi di posizionare le pedine in modo allineato sulla scacchiera è risultato: 96+72 = 168.
Quindi le pedine potranno essere disposte in modo non allineato in 41664 - 168 = 41496 modi.
Dovendo moltiplicare per 5 questo risultato, la risposta che ho ottenuto è 207480, mentre quella che dovrebbe essere corretta è 200600.
Ci sono altri modi di posizionare le tre pedine in modo allineato sulla scacchiera che non ho considerato?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia dedicarsi alla soluzione del problema.
RobStam
Risposte
Hai considerato solo le disposizioni in cui le tre pedine sono allineate e adiacenti, ma nel problema non si fa riferimento al fatto che le pedine debbano essere adiacenti.
I conti non mi tornano...
8 righe da 8 $56*8=448$
8 colone da 8 $56*8=448$
2 diagonali da 8 $56*2=112$
4 diagonali da 7 $35*4=140$
4 diagonali da 6 $20*4=80$
4 diagonali da 5 $10*4=40$
4 diagonali da 4 $4*4=16$
4 diagonali da 3 $1*4=4$
$448+448+112+140+80+40+16+4=1.288$
$41.664-1.288=40.376$
$40.376*5=201.880$
Che cosa mi manca (avanza)????
8 righe da 8 $56*8=448$
8 colone da 8 $56*8=448$
2 diagonali da 8 $56*2=112$
4 diagonali da 7 $35*4=140$
4 diagonali da 6 $20*4=80$
4 diagonali da 5 $10*4=40$
4 diagonali da 4 $4*4=16$
4 diagonali da 3 $1*4=4$
$448+448+112+140+80+40+16+4=1.288$
$41.664-1.288=40.376$
$40.376*5=201.880$
Che cosa mi manca (avanza)????
Così a occhio penso che abbiate contato anche gli allineamenti tipo $a1 - c2 - e3$ o $a1 - b3 - c5$ ...
Vabbè!!!!!
Allora non gioco più.......
Allora non gioco più.......
a me torna la stessa soluzione di superpippone, non riesco però a capire l'errore...
"riemannstella":
non riesco però a capire l'errore...
Basta usare il suggerimento di Alex.
"axpgn":
penso che abbiate contato anche gli allineamenti tipo a1−c2−e3 o a1−b3−c5 ...
Ciao
Ok, ma non capisco cosa voglia dire con a1−c2−e3 o a1−b3−c5 ... 
Alex ha usato la consueta simbologia degli scacchi: linee etichettate con lettere consecutive( di solito maiuscole) e perpendicolari con numeri positivi consecutivi.
Usando la notazione cartesiana sarebbero $ (1,1); (3,2); (5,3) $ e $ (1,1); (2,3); (3,5) $ ...
Ovviamente sono possibili rette con inclinazioni ancora diverse tipo $ (1,1): (2,4); (3,6) $...
Ciao
Usando la notazione cartesiana sarebbero $ (1,1); (3,2); (5,3) $ e $ (1,1); (2,3); (3,5) $ ...
Ovviamente sono possibili rette con inclinazioni ancora diverse tipo $ (1,1): (2,4); (3,6) $...
Ciao
Ora capisco la notazione, ma sinceramente non capisco quindi le ripercussioni, cioè i casi di allineamento sono quelli quando due caselle stanno sulla stessa riga o colonna o diagonale giusto? quindi le configurazioni di Alex che significano esattamente, e come si fa quindi a completare l'esercizio?
Il testo non parla di "diagonali" ma di "allineamenti" ed anche questi sono allineamenti ...
"riemannstella":
...cioè i casi di allineamento sono quelli quando due caselle stanno sulla stessa riga o colonna o diagonale giusto?
Le caselle non sono due ma tre. Il testo non parla di righe, colonne e diagonali, ma solo di 'allineamento'. Occorre completare il procedimento di superpippone eliminando i restanti casi di 'allineamenti' possibili. Non è brevissimo ma ilo risultato è quello previsto.
Ciao
"superpippone":
Vabbè!!!!!
Allora non gioco più.......
e che fai ?
Vai via sul più bello ?
Amici mi hanno coinvolto .... Fatto il primo pezzo, temo che dovrò proseguire...
La mossa del cavallo:
(la classica L lunga 2x3)
Se partiamo dalla prima riga, abbiamo 4 posizioni possibili, quindi le 3 pedine possiamo disporle in 3 modi diversi.
Possiamo spostarci orizzontalmente fino ad [E1] (5 posizioni), se invece ci spostiamo di una altra colonna [F1], perdiamo la 4^ posizione quindi abbiamo una solo disposizione.
Prima riga: 3x5+1 = 16
Per la seconda riga, lo stesso ed identico ragionamento: 3x5+1 = 16
Per la riga 3 e 4 abbiamo solo 3 posizioni utili, ed orizzontalmente le solite 6 colonne:
Riga 3: 6
Riga 4: 6
dalla riga 5, in poi.... impossibile.
Cavallo: 16+16+6+6 = 44
---------------------------
Ho calcolato da sinistra verso destra, si puo' fare lo stesso ragionamento:
- da destra verso sinistra
- dall'alto verso il basso (ovvero la L capovolta)
- dal basso verso l'alto (sempre la L capovolta)
Totale cavallo: $44*4=176$
.....continua.....
La mossa del minollo:
(si tratta di una L "allungata" 2x4)
Se partiamo dalla prima riga, abbiamo solo 3 posizioni possibili,
(la quarta va fuori limite)
Possiamo spostarci orizzontalmente fino ad [F1] (6 posizioni).
Prima riga: 6
Per la seconda riga, lo stesso ed identico ragionamento: 6
Dalla terza in poi: NULLA
Minollo: 6+6 = 12
---------------------------
Ho calcolato da sinistra verso destra, si puo' fare lo stesso ragionamento:
- da destra verso sinistra
- dall'alto verso il basso (ovvero la L capovolta)
- dal basso verso l'alto (sempre la L capovolta)
Totale Minollo: $12·4 = 48$
..... continua .....
L'ultima figura, la mossa del rostocco:
(si tratta di una L "allungata" 3x4)
Se partiamo dalla prima riga, abbiamo solo 3 posizioni possibili.
Possiamo spostarci orizzontalmente fino ad [D1] (4 posizioni).
Prima riga: 4
Per la seconda riga, lo stesso ed identico ragionamento: 4
Dalla terza in poi: NULLA
Rostocco: 4+4 = 8
---------------------------
Ho calcolato da sinistra verso destra, si puo' fare lo stesso ragionamento:
- da destra verso sinistra
- dall'alto verso il basso (ovvero la L capovolta)
- dal basso verso l'alto (sempre la L capovolta)
Totale Rostocco: $8·4 = 32$
praticamente siamo alla fine... ci manca il quadro riepilogativo di tutti
gli allineamenti. Quelli "semplici" sulla stessa riga / colonna / diagonale,
e quelli "composti" delle 3 figure sopra citate.
.... continua ....
Ci siamo....
in pratica, la soluzione, non è altro che una continuazione al calcolo fatto da superpippone.
Le 3 figure da me prese in considerazione, dovevano avere un lato diverso dall'altro (non quadrato, altrimenti rientravano nella fascia obliqua già calcolata), e non potevano superare le 4 unità, altrimenti uscivano "fuori range", pertanto le uniche possibili erano:
2x3
2x4
3x4
calcolate vedi sopra....
Verificato il risultato tramite un programmino, (per essere certo del calcolo effettuato),
posso dire con una certa sicurezza che il risultato è :
$41.664 - 1.544 = 40.120$
in pratica, la soluzione, non è altro che una continuazione al calcolo fatto da superpippone.
Le 3 figure da me prese in considerazione, dovevano avere un lato diverso dall'altro (non quadrato, altrimenti rientravano nella fascia obliqua già calcolata), e non potevano superare le 4 unità, altrimenti uscivano "fuori range", pertanto le uniche possibili erano:
2x3
2x4
3x4
calcolate vedi sopra....
Verificato il risultato tramite un programmino, (per essere certo del calcolo effettuato),
posso dire con una certa sicurezza che il risultato è :
$41.664 - 1.544 = 40.120$
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