Tre numeri in progressione geometrica

[GDLAN1983]

Ho tre numeri in progressione geometrica.
Se aggiungo 8 al secondo numero allora lasciando inalterati il primo ed il terzo ottengo una progressione aritmetica.
Ora se aggiungo 64 al terzo numero allora ottengo una nuova progressione geometrica. Devo trovare i numeri di partenza.

Io ho ragionato in questo modo:

$a_3 = a_1q^2$
$a_3 = (a_1 q ) + d$
$a_3+64 = a_1 + (a_1 + 8) q'$

ma ho troppe poche equazioni e troppe variabili e quindi mi sembrerebbe mancasse qualche dato.

Voi cosa pensate? grazie.

[theras]

Ciao!
Mah..a me sembra che,se vedi le tue progressioni come $(a_0,a_0q,a_0q^2),(a_0,a_0q+8,a_0q^2),(a_0,a_0q+8,a_0q^2+64)$
(se ho ben inteso,e di conseguenza modellizzato,quanto hai scritto,altrimenti l'idea và solo adattata..),
avrai due parametri;
ti servono allora due equazioni "sparametrizzanti",
che potrai impostare imponendo per la seconda che sia uguali rapporti tra il terzo ed il secondo e quello tra il secondo ed il primo..ed idem con patate per la terza terna:
non mi pare,ad occhio,che così facendo corri il rischio di finire in identità ridondanti ed inutili..
Saluti dal web.

[GDLAN1983]

Scusate avevo sbagliato : ed ho corretto ora il post. Se aggiungo 8 al secondo elemento lasciando inalterati il primo ed il terzo ottengo una progressione ARITMETICA ....Scusate ancora grazie.

[marco99991]

Facendo un pò di conti ho trovato che i numeri sono

4,12,36

[GDLAN1983]

Questi numeri sono giusti. Pero' il libro ne' da altri tre : 4/9 , -20/9 e 100/9 .
Quale procedimento hai usato? Grazie.

[GDLAN1983]

In effetti calcoli laboriosi ma con successo:

Sistema a quattro:

$a_0 + d = a_0.q +8 $

$(a_0.q + 8 ) . q_1 = a_0.q^2 + 64$

$a_0.q_1 = a_0.q + 8 $

$a_0.q + 8 + d = a_0.q^2$

da questo sistema si ottengono dopo un bel po' di lavoro :

$a_0 =4$ ed $a_0 = 4/9$

che ovviamente sostituiti danno anche $ d$ e $ q $ e $ q_1$

ed il gioco è fatto.

Grazie.

[marco99991]

Esattamente, non avevo considerato il caso che i numeri potessero essere razionali non interi.
Effettivamente ricontrollando sono solo due le terne possibili, i tuoi conti sono giusti

[GDLAN1983]

Obbiettivamente pero' di fronte ad un sistema di questo tipo con elementi al quadrato, facilmente un alunno poco disponibile ed attento e voglioso riuscirebbe a levarci le gambe. Stavo giusto pensando se c'è la possibilità di una soluzione più "ragionata". Ma per il momento non vedo alternative.

Grazie.

[marco99991]

Prendi il messaggio di theras. La seconda serie di numeri è in progressione aritmetica quindi imposti che il primo più il terzo faccia 2 volte il secondo, per la terza serie scrivi invece l'equazione primo* terzo= secondo al quadrato. In questo modo hai due sole equazioni in 2 incognite. Da lì è facile arrivare alla soluzione perché poi ti trovi a dover risolvere un' equazione di secondo grado nella q e così risali al valore di $a_0$.

[GDLAN1983]

Oh grazie infinite.