Torneo di calcio

[xXStephXx]

In un torneo di calcio ogni squadra gioca una sola volta contro tutte le altre. La squadra vincitrice
prende un punto, la squadra che perde zero e in caso di pareggio entrambe le squadre prendono
mezzo punto. Si sa che a fine torneo ogni squadra ha fatto la metà dei propri punti totali giocando contro
le ultime 10 squadre in classifica. (In particolare ognuna delle ultime 10 squadre in classifica ha
fatto la metà dei propri punti giocando contro le altre ultime 9). Quante squadre hanno giocato al
torneo?


PS: è un po' borderline... forse da "Scervelliamoci un po'".... ma con un po' di impegno in più può stare anche qui

[al_berto]

Tanto per scrivere qualcosa e rompere il ghiaccio: 20 squadre

[xXStephXx]

Uhm... prova a costruire un caso con $20$ squadre che rispetta le ipotesi

Volendo essere buoni: non ci puoi riuscire

[al_berto]

Eh... me lo sentivo.....
Riproverò

[xXStephXx]

Forse quello che ho scritto all'inizio era scoraggiante xD
Allora, diciamo che se si nota una certa particolarità nei dati del testo, il problema è questione di poco

[axpgn]

Di poco mica tanto ...

Allora ... le squadre dovrebbero essere $25$

Le ultime $10$ squadre giocano fra di loro $45$ partite perciò avranno complessivamente $45$ punti che sono la metà del loro totale il quale ammonterà perciò a $90$.
Le altre squadre complessivamente avranno guadagnato con le ultime $x$ punti che devono però essere più di $45$.
Questo punteggio $x$ corrisponde anche alla partite giocate tra di loro dalle squadre diverse dalle ultime $10$.
Il valore $x$ è legato al numero $m$ di queste squadre dalla formula $x=(m(m-1))/2$ e fa parte di una successione ben definita.
Sommando $90$ a questa successione e risolvendo al contrario questa formula $x_m+90=(n(n-1))/2$, il primo $n$ intero è la soluzione.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Formalizzo ...

Dato un torneo di calcio formato da $n$ squadre, le partite di un girone all'italiana di sola andata sono $(n(n-1))/2$.
Egualmente le partite dei due "minitornei" formati dalle sole $10$ ultime squadre e dalle sole $m=n-10$ rimanenti squadre sarà di $(10*(10-1))/2=45$ e $(m(m-1))/2$.
Data la formula del punteggio, il numero delle partite giocate equivale anche ai punti totali disponibili.
Dall'ipotesi quindi sappiamo che i punti totali ottenuti dalle ultime $10$ squadre saranno pari a $2*45=90$ e quelli delle rimanenti $2(m(m-1))/2=m(m-1)$.
Perciò nelle $150=10*15$ partite giocate dalle ultime contro le top, le ultime avranno ottenuto $45$ punti mentre le top $105=150-45$. Quindi avremo $105=(m(m-1))/2\ =>\ 210=m^2-m\ =>\ m^2-m-210=0\ =>\ m=15$.
Conclusione: $n=25$ squadre totali.

Cordialmente, Alex

P.S.: Il quesito è risolto ma rimane una domanda: esiste veramente uno schema di risultati compatibile con le ipotesi?
Nel prossimo post la soluzione (perché adesso non ho tempo ... )

[axpgn]

Proseguo ...

Prima di tutto ipotizziamo che nei due "minitornei" vi siano solo pareggi; perciò le ultime $10$ squadre si divideranno equamente $45$ punti ($4,5$ a testa) mentre le top se ne divideranno $105$ (e quindi $7$ a testa).
Di conseguenza nelle $150$ partite tra le ultime contro le top si dovrà avere lo stesso risultato cioè $4,5$ punti a testa per le ultime (a fronte di $15$ partite giocate cadauna), mentre per le top dovranno essere $7$ punti a testa (a fronte di $10$ partite giocate).
Teoricamente ciò è possibile, per esempio, se ciascuna delle ultime otterrà $9$ pareggi (e $6$ sconfitte) e ciascuna delle top $6$ pareggi e $4$ vittorie.
Globalmente i conti tornano: per le ultime ci saranno $90$ pareggi e $60$ sconfitte, lo stesso per le top (ovviamente vittorie al posto delle sconfitte).
Manca ancora il dettaglio delle singole partite che però trovate nell'immagine qui sotto (per fare prima ) dove le ultime squadre sono $s_1, s_2, ..., s_10$ e le top sono $s_11, s_12, ..., s_25$ e dove $V$ sta per vittoria top (e sconfitta ultime) e $N$ per il pareggio.


Credo che ci sia tutto ... spero

Cordialmente, Alex

[xXStephXx]

ok
Vabbè per la prima parte, senza troppi rigiri. Chiami $n$ il numero delle squadre totali escluse le ultime $10$ e hai
$n(n-1) + 90 = \frac{(n+10)(n+9)}{2}$ che risolvendola ti da $n=15$ o $n=6$ ma si vede che $n=6$ non va bene altrimenti le prime $6$ squadre avrebbero un punteggio medio più basso delle ultime $10$. Da cui $n=15$. E che poi si può costruire davvero fa niente, è nelle ipotesi

PS: l'equazione è data dal fatto che le prime $n$ squadre fanno totalmente $n(n-1)$ punti, le ultime $10$ ne fatto $90$ e la somma totale dei punteggi vale $(n+10)(n+9)$.