Teoria dei numeri, Problema dimostrativo
Ciao a tutti!
Questo è una variante di un problema presentato in una vecchia prova di ammissione della SNS di Pisa... (di cui ho impostato una soluzione ma ho bisogno di riscontri!)
Può essere mai verificata l'equazione $7^n$ - $5^m$ = $12007$ ??? Motivare la risposta (dimostrandola)...
Buon divertimento
!
Questo è una variante di un problema presentato in una vecchia prova di ammissione della SNS di Pisa... (di cui ho impostato una soluzione ma ho bisogno di riscontri!)
Può essere mai verificata l'equazione $7^n$ - $5^m$ = $12007$ ??? Motivare la risposta (dimostrandola)...
Buon divertimento
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Risposte
$n,m\in ZZ$, suppongo. Modulo 6: $1^n-(-1)^m=1$, assurdo.
le potenze di 5 generano numeri che finiscono per 25. se a 12007 si toglie 25, rimane un numero pari,mentre le potenze di sette sono numeri dispari...
"Isaac888":
Ciao a tutti!
Questo è una variante di un problema presentato in una vecchia prova di ammissione della SNS di Pisa... (di cui ho impostato una soluzione ma ho bisogno di riscontri!)
Può essere mai verificata l'equazione $7^n$ - $5^m$ = $12007$ ??? Motivare la risposta (dimostrandola)...
Buon divertimento
"TomSawyer":
$n,m\in ZZ$, suppongo. Modulo 6: $1^n-(-1)^m=1$, assurdo.
Sto cominciando a vedere le vostre formule,
pur non potendo installare il programma, e
di questo ringrazio gli Amministratori e i loro
collaboratori che stanno lavorando su questo
miglioramento.
C'è giusto quel #455995 che probabilmente
presto scomparirà.
Riguardo al quiz di Isaac, in effetti, non mi
sembra di averlo capito.
Se gli esponenti di 7 e 5 fossero naturali, la
differenza di quelle potenze potrebbe essere
solo un numero pari.
D'altra parte, ammettendo che gli esponenti
possano anche essere interi negativi, se la
differenza fosse maggiore di 1 allora sarebbe
frazionaria.
Vedo solo adesso il post di Deggianna
e mi sembra che la sua perplessità
sia più o meno nella stessa direzione...
Se le cose stessero davvero così, penso
che un'occhiata sarebbe stata più che
sufficiente per giustificare la risposta e
ogni calcolo risulterebbe praticamente
superfluo.
e mi sembra che la sua perplessità
sia più o meno nella stessa direzione...
Se le cose stessero davvero così, penso
che un'occhiata sarebbe stata più che
sufficiente per giustificare la risposta e
ogni calcolo risulterebbe praticamente
superfluo.
Comunque quando ho scritto la traccia mi sono dimenticato di scrivere che la coppia $m,n$ appartiene all'insieme dei Naturali!!! sorry...
A me usciva che Esiste almeno una coppia m,n di naturali dispari che soddisfano l'uguaglianza, in particolare $m=6h+1$ ed $n=4k+1$, con $h$ e $k$ naturali!!!
Ho tentato questa dimostrazione
(Susate la mia eventuale ignoranza in aritmetica modulare ma sono alle prime armi ed ho bisogno di molti consigli ancora... purtroppo a scuola queste cose, belle fra l'altro, non si studiano...)
Il mio approccio è stato il seguente:
Se l'uguaglianza è vera, i resti, prima modulo 5 e poi modulo 7, di ambo i membri devono essere uguali, in quanto resti nella divisione intera per un numero di uno stesso numero!
$12007mod5$ = $2$ = $7^n$$mod5$ = $2^n$$mod5$
perciò $n$ deve essere $1,5,9,13,17...4k+1$ con $k>=0$ e appartenente ai Naturali!
Allora esiste almeno $m,k$ naturali per cui $7^(4k+1) - 5^m = 12007$...
passando ai resti modulo 7:
$12007mod7 = 2 = -5^mmod7$
perciò $m$ deve essere $1,7,13,19...6h+1$ in modo che $-5^mmodulo7 = -2$, con $h>=0$ ed appartenente ai Naturali.
Allora esiste almeno $h,k$ appartenenti ai Naturali per cui $7^(4k+1) - 5^(6h+1) = 12007$...
Detto questo CREDO di poter affermare che Esiste almeno una coppia di $m,n$ naturali che soddisfano l'equazione!
Per favore ditemi che cosa ho sbagliato nella dimostrazione se ho sbagliato qualcosa!!!
GRAZIE 1000 A CHIUNQUE MI RISPONDA
!!!
A me usciva che Esiste almeno una coppia m,n di naturali dispari che soddisfano l'uguaglianza, in particolare $m=6h+1$ ed $n=4k+1$, con $h$ e $k$ naturali!!!
Ho tentato questa dimostrazione
(Susate la mia eventuale ignoranza in aritmetica modulare ma sono alle prime armi ed ho bisogno di molti consigli ancora... purtroppo a scuola queste cose, belle fra l'altro, non si studiano...)
Il mio approccio è stato il seguente:
Se l'uguaglianza è vera, i resti, prima modulo 5 e poi modulo 7, di ambo i membri devono essere uguali, in quanto resti nella divisione intera per un numero di uno stesso numero!
$12007mod5$ = $2$ = $7^n$$mod5$ = $2^n$$mod5$
perciò $n$ deve essere $1,5,9,13,17...4k+1$ con $k>=0$ e appartenente ai Naturali!
Allora esiste almeno $m,k$ naturali per cui $7^(4k+1) - 5^m = 12007$...
passando ai resti modulo 7:
$12007mod7 = 2 = -5^mmod7$
perciò $m$ deve essere $1,7,13,19...6h+1$ in modo che $-5^mmodulo7 = -2$, con $h>=0$ ed appartenente ai Naturali.
Allora esiste almeno $h,k$ appartenenti ai Naturali per cui $7^(4k+1) - 5^(6h+1) = 12007$...
Detto questo CREDO di poter affermare che Esiste almeno una coppia di $m,n$ naturali che soddisfano l'equazione!
Per favore ditemi che cosa ho sbagliato nella dimostrazione se ho sbagliato qualcosa!!!
GRAZIE 1000 A CHIUNQUE MI RISPONDA
!!!
"Isaac888":
Se l'uguaglianza è vera [...]
Errore!
E dove ho sbagliato?????
Illuminami per favore!!!!!!!!!!!!
Illuminami per favore!!!!!!!!!!!!
Hai letto le risposte sopra? L'equazione è palesemente falsa. Se vuoi farla con l'aritmetica modulare, prendi l'equazione modulo 6, come ho fatto io, e vedi subito che è impoissibile.
Altrimenti puoi banalmente osservare che $7^n-5^m$ dà sempre un numero pari, e $12007$ non lo è...
Altrimenti puoi banalmente osservare che $7^n-5^m$ dà sempre un numero pari, e $12007$ non lo è...
Già! questo l'avevo notato.... ma perchè quando vado a fare i resti modulo 5 o 7 mi viene possibile? in altre parole cosa mi dovrebbe far pensare di fare il modulo6??? scusa se ti faccio perdere tempo, ma non ho ancora capito come usare questo strumento...
Tu hai solo trovato la forma degli ipotetici $m,n \in NN$ che potrebbero soddisfare quell'equazione (cioè: se esistono sono di quella forma), ma non hai dimostrato la loro effettiva esistenza.
non puoi cercare di dimostrare una certa proposizione $P$ partendo con:
"supponiamo che $P$ sia vera"
e concludere dopo numerosi passaggi:
"allora $P$ e' vera".
"supponiamo che $P$ sia vera"
e concludere dopo numerosi passaggi:
"allora $P$ e' vera".
Ho capito, vi ringrazio!
Posso affermare la falsità dell'uguaglianza banalmente dicendo che la somma di numeri dispari dà pari!, ma se anzichè di 12007 ci fosse stato 12006, il mio discorso sarebbe valso a definire la forma di m ed n ed il fatto che l'equazione sarebbe potuta essere vera ma non necessariamente... ho capito bene???
Posso affermare la falsità dell'uguaglianza banalmente dicendo che la somma di numeri dispari dà pari!, ma se anzichè di 12007 ci fosse stato 12006, il mio discorso sarebbe valso a definire la forma di m ed n ed il fatto che l'equazione sarebbe potuta essere vera ma non necessariamente... ho capito bene???
Si, ma il fatto che l'equazione possa essere vera, ma non necessariamente, lo si sapeva gia'.
Invece il tuo discorso sarebbe utile se volessimo trovare tutti gli $n,m$ tali che valga l'equazione,
allora da un lato dovresti dimostrare che esistono, dall'altro che se esistono hanno una determinata forma,
ed e' quello che stavi provando tu.
ciao
Invece il tuo discorso sarebbe utile se volessimo trovare tutti gli $n,m$ tali che valga l'equazione,
allora da un lato dovresti dimostrare che esistono, dall'altro che se esistono hanno una determinata forma,
ed e' quello che stavi provando tu.
ciao
Giao e grazie 1000! sei stato gentilissimo 
!!!
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