Teorema molto generale

[carlo232]

Ecco un elegante teorema che sono riuscito a dimostrare

Sia $phi(x)$ una qualsiasi funzione che si possa sviluppare in serie di Maclaurin, definiamo

$F(y)=sum_{n=0}^infty { phi(n) (-y)^n}/{n!}$

Allora per $s>=1$ intero

$1/{(s-1)!} int_0^infty y^{s-1} F(y) dy = phi(-s)$

buon lavoro!

Ciao Ciao

[eafkuor1]

carlo, non so se hai capito; quando posti questi problemi devi metterci anche la soluzione!

[carlo232]

"eafkuor":carlo, non so se hai capito; quando posti questi problemi devi metterci anche la soluzione!

Ok, se $phi(x)$ si può sviluppare in serie di Maclaurin ed è efinita per ogni $x$ reale allora

$phi(x)=sum_{n=0}c_n x^n$

per alcune costanti $c$. Abbiamo

$F(y)=sum_{n=0}^infty {phi(n)(-y)^n}/{n!}= sum_{n=0} c_n f_n(y)$

dove

$f_0(y)=e^-y$

$f_k(y)=y {df_{k-1}}/{dy}$

quindi

$int_0^infty y^{s-1} F(y)dy =sum_{n=0}^infty c_n int_0^infty y^{s-1} f_n(y)dy $

calcoliamo ora gli integrali a secondo membro, sapendo che

$int_0^infty y^{s-1} f_0(y)dy = Gamma(s)$

dove $Gamma$ è la funzione gamma di Eulero, usando la relazione ricorsiva per le $f$

$int y^{s-1} f_k(y)dy = int y^{s} f'_{k-1}(y)dy=y^s f_{k-1}(y) - s int y^{s-1} f_{k-1}(y)dy$

$int_0^infty y^{s-1} f_k(y)dy = - s int_0^infty y^{s-1} f_{k-1}(y)dy$

$int_0^infty y^{s-1} f_k(y)dy = (- s)^k Gamma(s)$

da cui

$1/{Gamma(s)} int_0^infty y^{s-1} F(y)dy =sum_{n=0}^infty c_n (-s)^n =phi(-s)$

Ciao Ciao

[son Goku1]

cavoli carlo23, ma è tutta farina del tuo sacco?

[carlo232]

"GuillaumedeL'Hopital":cavoli carlo23, ma è tutta farina del tuo sacco?

Alla dimostrazione sopra ci sono arrivato da solo, invece il teorema purtroppo (per me ) non è nuovo, lo puoi trovare su MathWorld anche se in una forma più generale cioè (se ho capito bene l'inglese) solo con la condizione che $phi$ sia analitica.

Ciao Ciao