Tavolo da biliardo

[FreddyKruger]

Dato un ipotetico tavolo da biliardo con forma di un triangolo isoscele, con angolo al vertice di $1/30$ di grado, dire qual’è il massimo numero di sponde che la pallina puo toccare prima di toccare la base (con un solo lancio continuo ovviamente)… potete immaginare la pallina come un punto materiale.

[phydelia]

Mi sta facendo impazzire questo quesito. Sto provando a ragionarci su cabrì, considerando che angolo di incidenza è uguale ad angolo di riflessione... Ma forse esiste un approccio diverso e più semplice, attendo risposte da altri...

[xXStephXx]

Ci provo, ma non sono del tutto sicuro.. (Potrei non aver trovato il metodo ottimale)

Allora... Se lanciamo la palla in prossimità del vertice in modo che tocchi un lato obliquo parallelamente alla base, si nota che sfruttando le leggi della riflessione, la palla forma dei triangoli aventi un angolo del tipo \(\displaystyle 90-2k\frac{ \alpha}{2} \) dove \(\displaystyle \alpha \) è l'angolo al vertice e il numero di balzo corrisponde a \(\displaystyle k+1 \). L'effetto finisce quanto l'angolo diventa zero, quindi risolvendo l'equazione con i dati del problema si ha che la palla riesce ad arrivare alla base facendo 2700 balzi. Se anzichè partire dal vertice partissimo dalla base, facendo percorrere alla palla il percorso al ritroso, si ha che la palla fa 2700 balzi per arrivare al vertice e altri 2700 balzi per tornare alla base. In totale 5400 balzi.

[FreddyKruger]

"xXStephXx":

si nota che sfruttando le leggi della riflessione, la palla forma dei triangoli aventi un angolo del tipo \(\displaystyle 90-2k\frac{ \alpha}{2} \) dove \(\displaystyle \alpha \) è l'angolo al vertice e il numero di balzo corrisponde a \(\displaystyle k+1 \).

E' chiaro tutto tranne questo passaggio, potresti spiegarlo un po' meglio?

[xXStephXx]

Qua dovresti fare la figura. Partendo dal vertice, il primo triangolo che si forma ha un angolo uguale a 90-a/2 (in realtà ne ha 2 di quella dimensione). Il triangolo che si forma al secondo balzo ha un angolo uguale a 90-3a/2, il triangolo che si forma al terzo balzo ha un angolo uguale a 90-5a/2 e così via. Quelli angoli devono essere non nulli. Più si avvicinano a 0 e più la palla tende ad andare parallela ad uno dei due lati del triangolo isoscele grande.

[FreddyKruger]

Ma quindi,da quello che ho capito leggendo la tua risposta, ogni due rimbalzi si viene a "creare" un triangolo isoscele? Cioè ogni due rimbalzi una traiettoria è parallela alla base?
Ma se così fosse ,facendo partire il lancio dalla base, non smetterebbe mai di salire,se non quando incontra il vertice
Dove sto sbagliando?

[xXStephXx]

Ho cercato di fare una figura (con Paint loool)


Non ho scritto le ampiezze degli angoli perchè ero scomodo, comunque solo il primo triangolo che si forma è isoscele.. Le linee più sottili in figura rappresentano le perpendicolari ai lati obliqui e fanno anche da bisettrici agli angoli che si formano con il rimbalzo. Da qui si calcolano le ampiezze degli angoli. Si ha che il primo triangolo contiene un angolo uguale a \(\displaystyle 90-\frac{\alpha}{2} \), il secondo triangolo contiene un angolo uguale a \(\displaystyle 90-\frac{3\alpha}{2} \), il terzo triangolo ha un angolo di \(\displaystyle 90-\frac{5\alpha}{2} \) E così via.. Quell'angolo deve essere positivo.
Poi una volta calcolata la traiettoria che compie la palla facendola partire dal vertice, anzichè lanciarla dal vertice la si lancia dal punto in cui tocca la base, in modo che ripercorra tutto al ritroso e una volta arrivata al punto di partenza rifaccia lo stesso percorso in discesa fino a raggiungere di nuovo la base.

[MarcelloFioravanti]

"FreddyKruger":Dato un ipotetico tavolo da biliardo con forma di un triangolo isoscele, con angolo al vertice di $1/30$ di grado, dire qual’è il massimo numero di sponde che la pallina puo toccare prima di toccare la base (con un solo lancio continuo ovviamente)… potete immaginare la pallina come un punto materiale.

Davvero un bellissimo gioco! Lo proporrò ai miei ragazzi a ritorno a scuola, ci ho messo un po' anch'io per risolverlo... complimenti!