Successione modulo m
Sia definita una successione come segue:
$a_1=x \in \mathbb{N}$
$a_{n+1}=x^{a_n}\quad, \forall n \in \mathbb{N}$
Si dimostri che:
$\forall m \quad \exists k \quad t.c. \quad a_k \equiv a_{k+1} (mod\ m)$
$m,k \in \mathbb{N}$
$a_1=x \in \mathbb{N}$
$a_{n+1}=x^{a_n}\quad, \forall n \in \mathbb{N}$
Si dimostri che:
$\forall m \quad \exists k \quad t.c. \quad a_k \equiv a_{k+1} (mod\ m)$
$m,k \in \mathbb{N}$
Risposte
Proverei una cosa che però non riesco a formalizzare bene xD
Dati due termini successivi della successione:
$x^{x^{x^{...^x}}}$ e $x^{x^{...^x}}$ in pratica in quello a sinistra c'è un gradino in più sull'esponente rispetto a quella destra..
Si ha che il periodo delle potenze di $x$ modulo $m$ è sicuramente minore stretto di $m$.
Quindi quei due termini sono congrui tra loro se e solo se i loro esponenti sono congrui tra loro modulo il periodo.
Quindi stiamo facendo un'altra congruenza analoga alla precedente, ma abbiamo tolto un gradino da entrambe le parti.
Ora si ha che gli esponenti devono essere congrui tra loro modulo il periodo del periodo che è minore del periodo.
Si prosegue così per un po'... Siccome la funzione "periodo del periodo del periodo del periodo... del periodo" è decrescente, prima o poi si arriverà ad avere una scaletta avente come periodo $1$ e quindi la congruenza tra gli esponenti risulterebbe soddisfatta certamente.. Questo avviene per $k$ opportunatamente grandi. In ogni caso una volta che si arriva a "periodo del periodo del periodo... del periodo=1 da quel momento in poi tutti i termini della successione saranno tutti congrui tra loro modulo $m$. Quindi basta prendere due termini consecutivi qualsiasi a partire da quel punto e si ha la tesi.
Dati due termini successivi della successione:
$x^{x^{x^{...^x}}}$ e $x^{x^{...^x}}$ in pratica in quello a sinistra c'è un gradino in più sull'esponente rispetto a quella destra..
Si ha che il periodo delle potenze di $x$ modulo $m$ è sicuramente minore stretto di $m$.
Quindi quei due termini sono congrui tra loro se e solo se i loro esponenti sono congrui tra loro modulo il periodo.
Quindi stiamo facendo un'altra congruenza analoga alla precedente, ma abbiamo tolto un gradino da entrambe le parti.
Ora si ha che gli esponenti devono essere congrui tra loro modulo il periodo del periodo che è minore del periodo.
Si prosegue così per un po'... Siccome la funzione "periodo del periodo del periodo del periodo... del periodo" è decrescente, prima o poi si arriverà ad avere una scaletta avente come periodo $1$ e quindi la congruenza tra gli esponenti risulterebbe soddisfatta certamente.. Questo avviene per $k$ opportunatamente grandi. In ogni caso una volta che si arriva a "periodo del periodo del periodo... del periodo=1 da quel momento in poi tutti i termini della successione saranno tutti congrui tra loro modulo $m$. Quindi basta prendere due termini consecutivi qualsiasi a partire da quel punto e si ha la tesi.
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