Successione definita per ricorrenza
Determinare l'espressione esplicita della successione $x_n$ definita per ricorrenza ponendo
$x_{n+1}=(x_{n}+a)/(x_{n}+1)$
con $x_0=0$.
$x_{n+1}=(x_{n}+a)/(x_{n}+1)$
con $x_0=0$.
Risposte
$x_n=\frac{n \cdot a}{(n-1)a+1}$ ?
"Tipper":
$x_n=\frac{n \cdot a}{(n-1)a+1}$ ?
La risposta è errata. Osserva che se $y_n=\frac{n \cdot a}{(n-1)a+1}$ allora
$(y_n+a)/(y_n+1)\ne y_n$
Ho una soluzione diversa da quella di Tipper e che ho determinato
con la sostituzione $x_n=(y_n)/(y_(n+1))+1$
Tale sostituzione trasforma la relazione proposta in una equazione
lineare alla differenze che puo' essere risolta con gli ordinari metodi
dell'analisi discreta .Comunque ho anche una soluzione elementare
adatta a tutti.Il risultato finale ,ottenuto con calcoli che non riporto
perche' lunghi,e':
$x_n=sqrt(a)* [(1+sqrta)^n-(1-sqrta)^n]/[(1+sqrta)^n+(1-sqrta)^n]$
formula che andrebbe discussa al variare del parametro a.
Salvo errori.
karl
con la sostituzione $x_n=(y_n)/(y_(n+1))+1$
Tale sostituzione trasforma la relazione proposta in una equazione
lineare alla differenze che puo' essere risolta con gli ordinari metodi
dell'analisi discreta .Comunque ho anche una soluzione elementare
adatta a tutti.Il risultato finale ,ottenuto con calcoli che non riporto
perche' lunghi,e':
$x_n=sqrt(a)* [(1+sqrta)^n-(1-sqrta)^n]/[(1+sqrta)^n+(1-sqrta)^n]$
formula che andrebbe discussa al variare del parametro a.
Salvo errori.
karl
"karl":
Ho una soluzione diversa da quella di Tipper e che ho determinato
con la sostituzione $x_n=(y_n)/(y_(n+1))+1$
Grandissimo!! la soluzione è corretta ma io l'ho determinata con un altro metodo, però la tua sostituzione mi piace parecchio...come l'hai dedotta?
In verita' il mio merito e' relativo perche' si tratta di un fatto generale.
Tutte le equazioni alle differenze del tipo:
$x_(n+1)*x_n+A_nx_n+B_nx_(n+1)=C_n$
dove $A_n,B_n,C_n$ sono funzioni di n ( in particolare costanti)
sono riconducibili ad una equazione alle differenze lineare
con la sostituzione $x_n=(y_n)/(y_(n+1))-A_n$
Nel nostro caso e' $A_n=-1 $ come si puo' vedere riducendo a
forma intera la relazione indicata e lasciando a secondo membro il parametro a
karl
Tutte le equazioni alle differenze del tipo:
$x_(n+1)*x_n+A_nx_n+B_nx_(n+1)=C_n$
dove $A_n,B_n,C_n$ sono funzioni di n ( in particolare costanti)
sono riconducibili ad una equazione alle differenze lineare
con la sostituzione $x_n=(y_n)/(y_(n+1))-A_n$
Nel nostro caso e' $A_n=-1 $ come si puo' vedere riducendo a
forma intera la relazione indicata e lasciando a secondo membro il parametro a
karl
scusa karl,potresti postare la tu soluzione elementare?
La soluzione per essere elementare lo e' ma ha un suo costo in termini
di calcoli.
Poniamo dunque
(0) $x_(n+1)=(y_(n+1))/(z_(n+1))$
O cio' che e' lo stesso:
(1) $x_n=(y_n)/(z_n)$
Ed inoltre :
(2) $y_(n+1)=y_n+az_n,z_(n+1)=y_n+z_n$
(queste ultime relazioni si ottengono copiando praticamente il numeratore
ed il denominatore della relazione proposta)
E' facile vedere che sostituendo le (2) nella (0) e considerando la (1)
si ottiene la relazione proposta da ficus.
Moltiplichiamo ora la seconda delle (2) per una indeterminata t e sommiamo
con la prima, sempre delle (2):
(3) $y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)y_n+(a+t)z_n$
Scegliamo ora t ( e qui sta la sostanza del metodo) in modo che si abbia:
$a+t=t(1+t)$ da cui
(4) $t^2-a=0$
In tal modo la (3) diventa.
$y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)[y_n+tz_n]$
Facendo variare l'indice da n a 0 ,moltiplicando membro a membro e
semplificando opportunamente, si ottiene la relazione:
$y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)^(n+1)[y_(o)+tz_o]$
Ora essendo per ipotesi $x_o=0$ dalla (1) si ricava che deve essere
necessariamente $y_o=0,z_o=qualunque$ (purche' non nullo !)
Pertanto ,scegliendo zo=1,si ha:
$y_(n+1)+tz_(n+1)=t(1+t)^(n+1)$
oppure:
$y_n+tz_n=t(1+t)^n$
Sostituendo in tale formula le radici della (4) si ricava il sistema:
$((y_n-sqrtaz_n=-sqrta(1-sqrta)^n),(y_n+sqrtaz_n=sqrta(1+sqrta)^n))$
che risolto fornisce yn e zn:
$((y_n=sqrta[(1+sqrta)^2-(1-sqrta)^n]//2),(z_n=[(1+sqrta)^2-(1-sqrta)^n]//2))$
Sostituendo nella (1) si ha infine:
$x_n=sqrt(a)* [(1+sqrta)^n-(1-sqrta)^n]/[(1+sqrta)^n+(1-sqrta)^n]$
Mi rendo conto che il metodo puo' apparire lungo ma io ho fatto praticamente tutti
i passaggi che naturalmente,una volta appresa la sostanza del metodo stesso,si
possono eliminare.Il procedimento e' applicabile a tutte le ricorsioni bilineari
ovvero del tipo:
$x_(n+1)=(ax_n+b)/(cx_n+d)$ con a,b,c,d costanti definite e tali che
$ad-bc ne 0$
karl
di calcoli.
Poniamo dunque
(0) $x_(n+1)=(y_(n+1))/(z_(n+1))$
O cio' che e' lo stesso:
(1) $x_n=(y_n)/(z_n)$
Ed inoltre :
(2) $y_(n+1)=y_n+az_n,z_(n+1)=y_n+z_n$
(queste ultime relazioni si ottengono copiando praticamente il numeratore
ed il denominatore della relazione proposta)
E' facile vedere che sostituendo le (2) nella (0) e considerando la (1)
si ottiene la relazione proposta da ficus.
Moltiplichiamo ora la seconda delle (2) per una indeterminata t e sommiamo
con la prima, sempre delle (2):
(3) $y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)y_n+(a+t)z_n$
Scegliamo ora t ( e qui sta la sostanza del metodo) in modo che si abbia:
$a+t=t(1+t)$ da cui
(4) $t^2-a=0$
In tal modo la (3) diventa.
$y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)[y_n+tz_n]$
Facendo variare l'indice da n a 0 ,moltiplicando membro a membro e
semplificando opportunamente, si ottiene la relazione:
$y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)^(n+1)[y_(o)+tz_o]$
Ora essendo per ipotesi $x_o=0$ dalla (1) si ricava che deve essere
necessariamente $y_o=0,z_o=qualunque$ (purche' non nullo !)
Pertanto ,scegliendo zo=1,si ha:
$y_(n+1)+tz_(n+1)=t(1+t)^(n+1)$
oppure:
$y_n+tz_n=t(1+t)^n$
Sostituendo in tale formula le radici della (4) si ricava il sistema:
$((y_n-sqrtaz_n=-sqrta(1-sqrta)^n),(y_n+sqrtaz_n=sqrta(1+sqrta)^n))$
che risolto fornisce yn e zn:
$((y_n=sqrta[(1+sqrta)^2-(1-sqrta)^n]//2),(z_n=[(1+sqrta)^2-(1-sqrta)^n]//2))$
Sostituendo nella (1) si ha infine:
$x_n=sqrt(a)* [(1+sqrta)^n-(1-sqrta)^n]/[(1+sqrta)^n+(1-sqrta)^n]$
Mi rendo conto che il metodo puo' apparire lungo ma io ho fatto praticamente tutti
i passaggi che naturalmente,una volta appresa la sostanza del metodo stesso,si
possono eliminare.Il procedimento e' applicabile a tutte le ricorsioni bilineari
ovvero del tipo:
$x_(n+1)=(ax_n+b)/(cx_n+d)$ con a,b,c,d costanti definite e tali che
$ad-bc ne 0$
karl
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