$\sqrt(2)$
Sia $a_0=1,a_1=4,...$ la successione dele cifre dello sviluppo decimale di $\sqrt(2)$, e sia
$x_n=a_0,a_1\cdots a_n$ ossia $x_n=a_0+10^{-1}a_1 + \cdots + 10^{-n} a_n$
l'approssimazione di $\sqrt(2)$ troncata all'$n$-esima cifra decimale.
Provare che
$a_{n+1}=[2*10^n(2-x_n^2)/(2x_n+3)]$
dove $[\cdot]$ indica la parte intera.
$x_n=a_0,a_1\cdots a_n$ ossia $x_n=a_0+10^{-1}a_1 + \cdots + 10^{-n} a_n$
l'approssimazione di $\sqrt(2)$ troncata all'$n$-esima cifra decimale.
Provare che
$a_{n+1}=[2*10^n(2-x_n^2)/(2x_n+3)]$
dove $[\cdot]$ indica la parte intera.
Risposte
per n=0:
$a(1)=[0,4]=0$,e non 4 come hai definito all'inizio.
c'è qualcosa che non torna?
$a(1)=[0,4]=0$,e non 4 come hai definito all'inizio.
c'è qualcosa che non torna?
Correggo:
$a_{n+1}=[2*10^(n+1)(2-x_n^2)/(2x_n+3)]$
$a_{n+1}=[2*10^(n+1)(2-x_n^2)/(2x_n+3)]$
Hint:
Wow fortissima questa ricorrenza!
Approfitto di una generalizzazione per riesumare il problema:
Sia $A$ un numero naturale di $2m+1$ cifre ($m\ge 0$), sia
$\sqrt(A)=a_0\ldots a_m, a_{m+1}\ldots$
lo sviluppo decimale di $\sqrt(A)$. Posto $a:=10^{-2m}A$ e $S_n:=a_0\ldots a_m, a_{m+1}\ldots a_n$ è
$a_{n+1}=[10^{n-m+1}(A^2-S_n^2)/(B+S_n)]$
dove
$B:=10^{m}(7a^3+35a^2+21a+1)/(a^3+21a^2+35a+7)$.
Sia $A$ un numero naturale di $2m+1$ cifre ($m\ge 0$), sia
$\sqrt(A)=a_0\ldots a_m, a_{m+1}\ldots$
lo sviluppo decimale di $\sqrt(A)$. Posto $a:=10^{-2m}A$ e $S_n:=a_0\ldots a_m, a_{m+1}\ldots a_n$ è
$a_{n+1}=[10^{n-m+1}(A^2-S_n^2)/(B+S_n)]$
dove
$B:=10^{m}(7a^3+35a^2+21a+1)/(a^3+21a^2+35a+7)$.
Questa generalizzazione è ancora migliore:
Sia $a\in NN$ e sia $q\in NN$ la radice a meno di un'unità di $a$ con resto $r$. Comunque scelto un numero naturale $b$ di $2n$ cifre con $n\ge 1$ inferiore al numero di cifre di $q$, se $Q$ è il quoziente della divisione di $10^{2n}r+b$ per $2*10^nq$, allora $10^{n}q*Q$ è radice a meno dell'unità di $10^{2n}a+b$.
Per esempio, conoscendo le prime 5 cifre decimali di $\sqrt(2)=1,4142\ldots$, allora posso calcolare le successive 4 cifre, come quoziente tra due interi:
Infatti:
$200000000-14142^2= 3836$
$38360000/28284=1356$
$\sqrt(2)=1,4142 1356 \ldots$...
Sia $a\in NN$ e sia $q\in NN$ la radice a meno di un'unità di $a$ con resto $r$. Comunque scelto un numero naturale $b$ di $2n$ cifre con $n\ge 1$ inferiore al numero di cifre di $q$, se $Q$ è il quoziente della divisione di $10^{2n}r+b$ per $2*10^nq$, allora $10^{n}q*Q$ è radice a meno dell'unità di $10^{2n}a+b$.
Per esempio, conoscendo le prime 5 cifre decimali di $\sqrt(2)=1,4142\ldots$, allora posso calcolare le successive 4 cifre, come quoziente tra due interi:
Infatti:
$200000000-14142^2= 3836$
$38360000/28284=1356$
$\sqrt(2)=1,4142 1356 \ldots$...
Cavolo, ma da dove ottieni il valore di $B$?
"Eudale":La si ricava dalla ricorrenza $y_{n+1}=(y_n+a)/(y_n+1)$; la ricorrenza converge alla radice richiesta; se $y_n$ ha $k$ cifre esatte, allora $y_{n+7}$ ha $k+1$ cifre esatte.
Cavolo, ma da dove ottieni il valore di $B$?
Se si utilizza la ricorrenza $y_{n+1}=(y_n^2+a)/(2y_n)$, la convergenza è molto più veloce e con poche iterazioni si ricavano più cifre alla volta; in particolare, si può dedurre che:
Sia $a\in NN$ e sia $q\in NN$ la radice a meno di un'unità di $a$ con resto $r$. Comunque scelto $b=uv$ con $u,v$ numeri naturali di $n$ cifre con $n$ inferiore al numero di cifre di $q$, siano $Q$ ed $R$ il quoziente e il resto della divisione di $ru$ per $2\cdot q$, allora $qQ$ è radice a meno dell'unità di $ab$ con resto $Rv-Q^2$.
dove $uv$ è il numero naturale $10^n*u+v$ che si ottiene accostando $u$ a $v$; analogamente $ru=10^n*r+u$, $qQ=10^n*q+Q$ e $ab=10^(2*n)*a+b$.
In pratica vuol dire che se conosco le prime $n+1$ cifre di $\sqrt(a)$, allora le successive $n$ cifre sono il quoziente di due interi opportuni; cioè, facendo una divisione trovo $n$ cifre della radice.
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