Spigolature matematiche

[Sk_Anonymous]

1) Si vogliono quoziente e resto della divisione per 8 di
un qualunque numero N (ad esempio 438).
Si giustifichi il seguente procedimento.
a)si raddoppi il numero ottenuto privando N dell'ultima cifra:
43*2=86
b) si aggiunga al risultato del punto (a) la cifra esclusa:
86+8=94
c) si divida il risultato di cui al punto (b) per 8:
94:8=> quoziente=11,resto=6
Allora il quoziente ed il resto della divisione di N per 8 sono:
quoziente=[quoziente di cui al punto (c)] +[numero dato privato dell'ultima cifra]
resto= [resto ottenuto al punto (c)]
Nel caso di N=438: quoziente = 11+43=54, resto=6
Why??

2)I numeri interi a,b,c sono in progressione geometrica
e la loro somma e' 13.Determinare a,b,c.

3)I numeri x ed y ( in base 10) hanno questa forma:
x=111...11 ( gli "1" sono in numero di 2006)
y=100...005 ( gli "0" sono in numero di 2005)
Calcolare $sqrt(xy+1)$

4)Se in un triangolo gli angoli interni $alpha,beta,gamma$
soddisfano la relazione $8cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)=1$
allora tale triangolo e' equilatero.
karl

[ficus2002]

"karl":1) Si vogliono quoziente e resto della divisione per 8 di
un qualunque numero N (ad esempio 438).
Si giustifichi il seguente procedimento.
a)si raddoppi il numero ottenuto privando N dell'ultima cifra:
43*2=86
b) si aggiunga al risultato del punto (a) la cifra esclusa:
86+8=94
c) si divida il risultato di cui al punto (b) per 8:
94:8=> quoziente=11,resto=6
Allora il quoziente ed il resto della divisione di N per 8 sono:
quoziente=[quoziente di cui al punto (c)] +[numero dato privato dell'ultima cifra]
resto= [resto ottenuto al punto (c)]
Nel caso di N=438: quoziente = 11+43=54, resto=6
Why??

Dato $N$ naturale, posso scrivere $N=10*m+u$ con $u,m$ naturali e $u<10$. Definisco $n=2*m+u$ e siano $q$ ed $r$ il quoziente e il resto della divisione di $n$ per $8$. Allora $n=8*q+r$ con $r<8$.

Proviamo che $Q=q+m$ e $R=r$ sono il quoziente e il resto della divisione di $N$ per $8$.
Si ha
$8*Q+R=8*(q+m)+r=n+8*m=2*m+u+8*m=10*m+u=N$
e
$R=r<8$.

Bella questa regola! Può essere utile nel calcolo mentale!

[Celine2]

Per il numero 3:

$ sqrt(xy+1)= (10^2006+2)/3 = 3...34 $ dove il 3 è presente 2005 volte

Salvo errori

[giuseppe87x]

$b=aq$
$c=aq^2$

$13=a+aq+aq^2$
$13=a(1+q+q^2)$

Poichè $13$ è primo si ha:

o $a=1$, $q^2+q+1=13$
o $a=13$, $q^2+q=0$

adesso basta fare i conti.

[Sk_Anonymous]

Ok per tutti.
Comunque a Giuseppe87x vorrei far notare che
sono possibili anche valori negativi.
A Celine chiederei di giustificare meglio,se vuole,il risultato
(senz'altro esatto) che ha postato.
karl

[Bruno13]

"karl":3)I numeri x ed y ( in base 10) hanno questa forma:
x=111...11 ( gli "1" sono in numero di 2006)
y=100...005 ( gli "0" sono in numero di 2005)
Calcolare $sqrt(xy+1)$

Abbiamo:
x = 11...11
pertanto:
y = 9x+6
dunque:
xy+1 = 9x²+6x+1 = (3x+1)²
da cui si ottiene la soluzione:
33...34 ("3" ripetuto 2005 volte)
in accordo con Celine.

"karl":
4)Se in un triangolo gli angoli interni $alpha,beta,gamma$
soddisfano la relazione $8cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)=1$
allora tale triangolo e' equilatero.
karl

In ogni triangolo, essendo a, b e c gli angoli
interni, abbiamo che:
1-8·cos(a)·cos(b)·cos(c) non è mai negativo.
Infatti:
1+8·cos(b+c)·cos(b)·cos(c)
= 1+8·cos(b+c)·[½·cos(b+c)+½·cos(b-c)]
= 1+4·cos²(b+c)+4·cos(b+c)·cos(b-c)+cos²(b-c)-cos²(b-c)
= [2·cos(b+c)+cos(b-c)]²+1-cos²(b-c)
= [2·cos(b+c)+cos(b-c)]²+sen²(b-c).
L'ultimo membro, essendo una somma di due
quadrati, non è mai negativo.
Il valore minimo di tale membro è zero e viene
raggiunto quando i due quadrati si annullanno,
vale a dire per b=c=a (il secondo quadrato è
uguale a zero quando b=c, mentre il primo lo
diventa quando b=60°).