Spazio C[0,1]

[Camillo]

Si consideri lo spazio $C[0,1] $ con la norma del massimo ( norma di indice $oo$ ) .
Verificare se è chiuso in tale spazio l'insieme costituito dalle funzioni $ f(x) $ derivabili in $1/2$ e con $ f'(1/2)=0 $.

[ficus2002]

No, non è chiuso. Per comodità considero $C[-1,1]$ anzichè $C[0,1]$. Definisco la successione di funzioni $f_n$ in questo modo:
$f_n(x)=x$ per $1>=|x|>1/n$
$f_n(x)=0$ per $|x|< 1/(n^2)$
In $[-1/n,-1/(n^2)]$, $f_n$ è la retta passante per $(-1/n,-1/n)$ e $(-1/(n^2),0)$ e, analogamente, in $[1/(n^2),1/n]$, $f_n$ è la retta passante per $(1/(n^2),0)$ e $(1/n,1/n)$.
La successione $f_n$ converge uniformemente, cioè in norma $oo$ a $f(x)=x$, infatti:
$max_{[-1,1]}|f_n-f|<1/n$
Inoltre $f_n$ è continua in $[-1,1]$ derivabile in $0$ con derivata nulla per ogni $n$, mentre $f$ è derivabile in $0$ ma non ha ivi derivata nulla.

[Camillo]

Non mi sembra ci sia congruenza tra il punto in cui definisci la successione di funzioni $f_n(x) $ e dove poi definisci gli intervalli in cui la funzione è una retta .

[ficus2002]

Intendi dire $|x|>1/n$? Ho sistemato il post precedente sostituendo $|x|>1/n$ con $1>=|x|>1/n$.
Magari con la figura ci capiamo

[Camillo]

Col diagramma è chiarissimo.

Mantenendo le richieste iniziali, cioè $f(x) $ derivabile in $ x=1/2$ e $f'(1/2) = 0 $ , considero la successione di funzioni :
$f_n(x) = sqrt(1/n^2 +(x-1/2)^2)$.
Chiaramente : $ f(x) = |x-1/2| $.
Inoltre :

$0 < f_n(x) -f(x) = sqrt(1/n^2-(x-1/2)^2)- |x-1/2| <= 1/n$ in quanto il massimo scostamento tra le due funzioni si ha per $ x= 1/2$.
Quindi $ f_n(x) $ converge uniformemente ( cioè in norma $oo$ ) a $ f(x) $, che non è però derivabile per $ x =1/2$ .
Quindi non è chiuso .