Somme divisibili da primi

[TomSawyer1]

Provare che per ogni primo $p>=5$,
$sum_(1<=i $sum_(1<=i

Cita

Segnala

---

Risposte

Sk_Anonymous

28 gen 2007, 16:07

Lemma: se $p > 2$ è un primo e $k \in \mathbb{N}$ è tale che $p-1$ non divide $k$, allora $\sum_{i=1}^{p-1} i^k \equiv 0$ mod p.

Dim.: sia g una radice primitiva mod p. Allora $\sum_{i=1}^{p-1} i^k \equiv \sum_{i=1}^{p-1} g^{ik} \equiv \frac{g^{(p-1)k} - 1}{g^k - 1} \equiv 0$ mod p, in quanto $\gcd(g^k - 1, p) = 1$.

Back to the problem: esistono $k < p-1$ e coefficienti $\alpha_1, ..., \alpha_k \in ZZ$/$pZZ$ tali che ciascuna delle somme indicate si possa scrivere (mod p) uguale a $\sum_{i=1}^k \alpha_i \sum_{j=1}^{p-1} j^i$. Senonché il lemma!!!

N.B.: seguendo quest'approccio, il problema si può ampiamente generalizzare.

Cita

Segnala

---

TomSawyer1

29 gen 2007, 11:54

"DavidHilbert":Back to the problem: esistono $k < p-1$ e coefficienti $\alpha_1, ..., \alpha_k \in ZZ$/$pZZ$ tali che ciascuna delle somme indicate si possa scrivere (mod p) uguale a $\sum_{i=1}^k \alpha_i \sum_{j=1}^{p-1} j^i$. Senonché il lemma!!!

Non ho ben capito perche' le due somme si possano scrivere in quel modo.

N.B.: seguendo quest'approccio, il problema si può ampiamente generalizzare.

Generalizzare ed arrivare a quale risultato?

Cita

Segnala

---

carlo232

29 gen 2007, 13:03

"Crook":[quote="DavidHilbert"]Back to the problem: esistono $k < p-1$ e coefficienti $\alpha_1, ..., \alpha_k \in ZZ$/$pZZ$ tali che ciascuna delle somme indicate si possa scrivere (mod p) uguale a $\sum_{i=1}^k \alpha_i \sum_{j=1}^{p-1} j^i$. Senonché il lemma!!!

Non ho ben capito perche' le due somme si possano scrivere in quel modo.[/quote]

Non so cosa intendesse ma ad esempio la prima

$2sum_(i
$2sum_(i
da cui con il lemma di DavidHilbert e alcune considerazioni si ottiene la tesi...

Cita

Segnala

---

Sk_Anonymous

29 gen 2007, 19:09

"Crook":[quote="DavidHilbert"]Back to the problem: esistono $k < p-1$ e coefficienti $\alpha_1, ..., \alpha_k \in ZZ$/$pZZ$ tali che ciascuna delle somme indicate si possa scrivere (mod p) uguale a $\sum_{i=1}^k \alpha_i \sum_{j=1}^{p-1} j^i$. Senonché il lemma!!!

Non ho ben capito perche' le due somme si possano scrivere in quel modo.[/quote]
Pensaci: fissati $n,j, k \in NN$ e posto $S_k(m) = \sum_{t=0}^m t^k$, per ogni $m \in NN$, risulta che, comunque scelto $t = 0, ..., j-1$: $(1+t)^{k+1} - t^{k+1} = \sum_{i=0}^k ((k+1),(i)) t^i$ (teorema del binomiale di Newton). Pertanto $j^{k+1} = \sum_{i=0}^k ((k+1),(i)) S_i(j-1)$. Ne viene $S_{k+1}(n) = \sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^k ((k+1),(i)) S_i(j-1) = \sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^n ((k+1),(i)) S_i(j-1)$.

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[Sk_Anonymous]

Lemma: se $p > 2$ è un primo e $k \in \mathbb{N}$ è tale che $p-1$ non divide $k$, allora $\sum_{i=1}^{p-1} i^k \equiv 0$ mod p.

Dim.: sia g una radice primitiva mod p. Allora $\sum_{i=1}^{p-1} i^k \equiv \sum_{i=1}^{p-1} g^{ik} \equiv \frac{g^{(p-1)k} - 1}{g^k - 1} \equiv 0$ mod p, in quanto $\gcd(g^k - 1, p) = 1$.

Back to the problem: esistono $k < p-1$ e coefficienti $\alpha_1, ..., \alpha_k \in ZZ$/$pZZ$ tali che ciascuna delle somme indicate si possa scrivere (mod p) uguale a $\sum_{i=1}^k \alpha_i \sum_{j=1}^{p-1} j^i$. Senonché il lemma!!!

N.B.: seguendo quest'approccio, il problema si può ampiamente generalizzare.

[TomSawyer1]

"DavidHilbert":Back to the problem: esistono $k < p-1$ e coefficienti $\alpha_1, ..., \alpha_k \in ZZ$/$pZZ$ tali che ciascuna delle somme indicate si possa scrivere (mod p) uguale a $\sum_{i=1}^k \alpha_i \sum_{j=1}^{p-1} j^i$. Senonché il lemma!!!

Non ho ben capito perche' le due somme si possano scrivere in quel modo.

N.B.: seguendo quest'approccio, il problema si può ampiamente generalizzare.

Generalizzare ed arrivare a quale risultato?

[carlo232]

"Crook":[quote="DavidHilbert"]Back to the problem: esistono $k < p-1$ e coefficienti $\alpha_1, ..., \alpha_k \in ZZ$/$pZZ$ tali che ciascuna delle somme indicate si possa scrivere (mod p) uguale a $\sum_{i=1}^k \alpha_i \sum_{j=1}^{p-1} j^i$. Senonché il lemma!!!

Non ho ben capito perche' le due somme si possano scrivere in quel modo.[/quote]

Non so cosa intendesse ma ad esempio la prima

$2sum_(i
$2sum_(i
da cui con il lemma di DavidHilbert e alcune considerazioni si ottiene la tesi...

[Sk_Anonymous]

"Crook":[quote="DavidHilbert"]Back to the problem: esistono $k < p-1$ e coefficienti $\alpha_1, ..., \alpha_k \in ZZ$/$pZZ$ tali che ciascuna delle somme indicate si possa scrivere (mod p) uguale a $\sum_{i=1}^k \alpha_i \sum_{j=1}^{p-1} j^i$. Senonché il lemma!!!

Non ho ben capito perche' le due somme si possano scrivere in quel modo.[/quote]
Pensaci: fissati $n,j, k \in NN$ e posto $S_k(m) = \sum_{t=0}^m t^k$, per ogni $m \in NN$, risulta che, comunque scelto $t = 0, ..., j-1$: $(1+t)^{k+1} - t^{k+1} = \sum_{i=0}^k ((k+1),(i)) t^i$ (teorema del binomiale di Newton). Pertanto $j^{k+1} = \sum_{i=0}^k ((k+1),(i)) S_i(j-1)$. Ne viene $S_{k+1}(n) = \sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^k ((k+1),(i)) S_i(j-1) = \sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^n ((k+1),(i)) S_i(j-1)$.