Somme di quadrati perfetti

[robbstark1]

Dimostrare che se un numero è somma di 2 quadrati perfetti, anche il suo quadrato è somma di 2 quadrati perfetti.

[Gi81]

$n=a^2+b^2$, con $a,b in NN$ e $a>=b$ (cioè metto i due numeri ordinati in senso decrescente)

$n^2=(a^2+b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2=a^4+b^4-2a^2b^2+4a^2b^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2 $

Posti $x:=a^2-b^2$ e $y:=2ab$ si ha che $EE x,y in NN$ tali che $n^2=x^2+y^2$

[j18eos]

Facile!

Siano [tex]$a;b\in\mathbb{N}_0$[/tex] e si ponga [tex]$n=a^2+b^2\in\mathbb{N}_0$[/tex] è [tex]$n^2=(a^2+b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2=a^4+b^4-2a^2b^2+4a^2b^2=(a^2-b^2)^2+(2a^2b^2)^2\in\mathbb{N}_0$[/tex]!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Vale di più: se due numeri sono esprimibili come somma di due quadrati perfetti allora anche il loro prodotto lo è.

[al_berto]

C'e n'e di più:
Qualsiasi potenza intiera d'una somma di due quadrati è essa pure una somma di due quadrati ossia:
$(a^2+b^2)^n=A^2+B^2$
Chi ne sa dare una dimostrazione?
Io ho letto una dimostrazione, ma per le mie forze, non molto comprensibile.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"al_berto":C'e n'e di più:
Qualsiasi potenza intiera d'una somma di due quadrati è essa pure una somma di due quadrati ossia:
$(a^2+b^2)^n=A^2+B^2$

E' un caso particolare di quello che ho detto all'intervento precedente:

"Martino":Vale di più: se due numeri sono esprimibili come somma di due quadrati perfetti allora anche il loro prodotto lo è.

E questo non e' difficile.

[robbstark1]

$(a^2 +b^2)(c^2 +d^2)=a^2 c^2 +a^2 d^2 +b^2 c^2 +b^2 d^2 -2abcd +2abcd=(ac-bd)^2 +(ad+bc)^2$

[gugo82]

"Martino":Vale di più: se due numeri sono esprimibili come somma di due quadrati perfetti allora anche il loro prodotto lo è.

Praticamente è l'unico caso in cui nell'identità di Lagrange le somme al primo membro contengono lo stesso numero di quadrati presenti al secondo membro.

Infatti l'identità di Lagrange è:

[tex]$\sum_{k=1}^N a_k^2\cdot \sum_{k=1}^N b_k^2 = \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} (a_ib_j-a_jb_i)^2 +\left( \sum_{k=1}^N a_kb_k\right)^2$[/tex]

e si vede che nelle sommatorie al primo membro ci sono [tex]$N$[/tex] quadrati, mentre al secondo membro sono presenti [tex]$1+\tfrac{1}{2} N(N-1)$[/tex] quadrati.
E, magicamente, si ha [tex]$1+\tfrac{1}{2} N(N-1) =N$[/tex] se e solo se [tex]$N=2$[/tex].