Sommatoria stupida...
$sum_(i=1)^k n^i=?$
Saro fuso ...intuitivamente ho trovato ua soluzione, solo che non riesco a trovare una soluzione formale.....
Saro fuso ...intuitivamente ho trovato ua soluzione, solo che non riesco a trovare una soluzione formale.....
Risposte
E' una progressione geometrica di ragione $n$, basta utilizzare la solita formuletta della somma dei termini di una progressione geometrica.
cavolo..lo sapevo che era stupida:-D..passare il pomeriggio a far latino non fa proprio bene.
Risulta $(n*(n^k-1))/(n-1)$
A me risulta:
$ n(1-n^k)/(1-n) $
$ n(1-n^k)/(1-n) $
Che state facendo... 
$(1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^k)(x-1)=x^(k+1)-1$
$1+x+x^2+x^3+x^4...+x^k=(x^(k+1)-1)/(x-1)$
con $x != 1$
$(1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^k)(x-1)=x^(k+1)-1$
$1+x+x^2+x^3+x^4...+x^k=(x^(k+1)-1)/(x-1)$
con $x != 1$
.....e meno male che la sommatoria era stupida! 
"ciclico":
.....e meno male che la sommatoria era stupida!
Infatti lo è!
Attenzione: l'indice dalla sommatoria parte da 1 e non da 0.
allora...quella corretta è quella di luca,mentre quella di carlo ha un 1 al posto di un x
Dai... faccio lo sforzo di riportare tutti i passaggi:
$ sum_(i=1)^k n^i= (1-n^(k+1))/(1-n)-1 = n(1-n^k)/(1-n) $
con $ n ne 1 $ ovviamente.
$ sum_(i=1)^k n^i= (1-n^(k+1))/(1-n)-1 = n(1-n^k)/(1-n) $
con $ n ne 1 $ ovviamente.
"luca.barletta":
Attenzione: l'indice dalla sommatoria parte da 1 e non da 0.
Si, l'ho fatta partire da 0 per renderla più generale, ovviamente per ottenere l'altra basta togliere un 1.
Quando ho postato non avevo visto il tuo post, ma quello di Leonardo che poi ha corretto.
Non so se aprire un altro topic, comincio a postarlo qui. Per $k$ intero positivo la somma
$sum_{n=0}^{N}n^k$
si può esprimere come un polinomio di grado $k+1$ nell'indeterminata $N$ (per esempio per $k=1$ si ha $1/2 N^2 - 1/2 N$). Quindi, scrivendo
$sum_{n=0}^{N}n^k=c_0 + c_1 N + c_2 N^2 + \cdots + c_{k+1} N^{k+1}$
esiste una formula che esprime i coefficienti $c_i$ in funzione di $k$?
$sum_{n=0}^{N}n^k$
si può esprimere come un polinomio di grado $k+1$ nell'indeterminata $N$ (per esempio per $k=1$ si ha $1/2 N^2 - 1/2 N$). Quindi, scrivendo
$sum_{n=0}^{N}n^k=c_0 + c_1 N + c_2 N^2 + \cdots + c_{k+1} N^{k+1}$
esiste una formula che esprime i coefficienti $c_i$ in funzione di $k$?
Dato che sono in vena di sparare cavolate:
$sum_{n=0}^{N}n^k = sum_(j=0)^Nsum_(i=0)^kC(k,i)N^i(-j)^(k-i)$
funge?
$sum_{n=0}^{N}n^k = sum_(j=0)^Nsum_(i=0)^kC(k,i)N^i(-j)^(k-i)$
funge?
"luca.barletta":
Dato che sono in vena di sparare cavolate:
$sum_{n=0}^{N}n^k = sum_(j=0)^Nsum_(i=0)^kC(k,i)N^i(-j)^(k-i)$
funge?
cosa indichi con $C(k,i)$?
"ficus2002":
[quote="luca.barletta"]Dato che sono in vena di sparare cavolate:
$sum_{n=0}^{N}n^k = sum_(j=0)^Nsum_(i=0)^kC(k,i)N^i(-j)^(k-i)$
funge?
cosa indichi con $C(k,i)$?[/quote]
Credo che indichi il coefficiente binomiale k su i...
...non mi convince. Può essere che l'uguaglianza sia vera, ma se la scrivi così:
vedi che il coefficiente di $N^i$ dipende da $N$, invece dovrebbe dipendere solo da $i$ e $k$.
"luca.barletta":
$sum_{n=0}^{N}n^k = sum_(i=0)^k (sum_(j=0)^NC(k,i)(-j)^(k-i)) N^i$
vedi che il coefficiente di $N^i$ dipende da $N$, invece dovrebbe dipendere solo da $i$ e $k$.
Io ho trovato una formula ricorsiva per i coefficienti del polinomio in N, ma oltre ad essere complicata sembra che non porti a nulla. Io la scrivo lo stesso, magari qualcuno di voi ci vede qualcosa:
I coefficienti $c_i^h$ sono definiti da:
$sum_{n=0}^{N} n^h = sum_{i=0}^{h+1} c_i^{h} N^i$. La formula ricorsiva permette di trovare i coefficienti $c_0^k, c_1^k, \ldots, c_{k+1}^k$ conoscendo tutti i coefficienti $c_i^h$ per $h
la formula è questa:
$c_{k+1}^k=1/{k+1}$
$c_i^k=sum_{h=0}^{k-1} {((k+1),(h))}/{k+1} (-1)^{k+1-h} c_i^h$
$c_0^k=-(-1)^{k+1}/{k+1}$
I coefficienti $c_i^h$ sono definiti da:
$sum_{n=0}^{N} n^h = sum_{i=0}^{h+1} c_i^{h} N^i$. La formula ricorsiva permette di trovare i coefficienti $c_0^k, c_1^k, \ldots, c_{k+1}^k$ conoscendo tutti i coefficienti $c_i^h$ per $h
la formula è questa:
$c_{k+1}^k=1/{k+1}$
$c_i^k=sum_{h=0}^{k-1} {((k+1),(h))}/{k+1} (-1)^{k+1-h} c_i^h$
$c_0^k=-(-1)^{k+1}/{k+1}$
Magari vi scrivo come ho fatto a trovare quelle relazioni li sopra. Definisco:
$sum_{n=0}^{N}n^{h}=sum_{i=0}^{h+1}c_{i}^{h}N^{i}$.
Osservo che
$sum_{n=0}^{N}n^{k+1}-sum_{n=0}^{N}(n-1)^{k+1}=N^{k+1}-(-1)^{k+1}$
in cui si sostituisce:
$(n-1)^{k+1}=sum_{h=0}^{k+1}((k+1),(h))(-1)^{k+1-h}n^{h}$.
Inoltre: $sum_{n=0}^{N}n^{k+1}=sum_{i=0}^{k+2}c_{i}^{k+1}N^{i}$. Si sotituiscono queste ultime due ricavate nella seconda e si fanno i conti;
Un altro sistema potrebbe essere quello di generalizzare questo metodo:
$\frac{1}{N^{k+1}}\sum_{n=0}^{N}n^{k}=\sum_{n=0}^{N}( \frac{n}{N}) ^{k}\frac{1}{N}$
Da un parte si ha
$\lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{1}{N^{k+1}}\sum_{n=0}^{N}n^{k}=c_{k+1}^{k}$
dall'altra
$\lim_{N\rightarrow +\infty }\sum_{n=0}^{N}( \frac{n}{N}) ^{k}\frac{1}{N}=\int_{0}^{1}x^{k}dx=\frac{1}{k+1}$
Quindi: $c_{k+1}^{k}=\frac{1}{k+1}$.
Oppure trovare una funzione di variabile reale $f$ tale che $f(N)=sum_{n=0}^{N}n^{k}$. In questo modo $f^{(n)}(0)=c_n^k$.
$sum_{n=0}^{N}n^{h}=sum_{i=0}^{h+1}c_{i}^{h}N^{i}$.
Osservo che
$sum_{n=0}^{N}n^{k+1}-sum_{n=0}^{N}(n-1)^{k+1}=N^{k+1}-(-1)^{k+1}$
in cui si sostituisce:
$(n-1)^{k+1}=sum_{h=0}^{k+1}((k+1),(h))(-1)^{k+1-h}n^{h}$.
Inoltre: $sum_{n=0}^{N}n^{k+1}=sum_{i=0}^{k+2}c_{i}^{k+1}N^{i}$. Si sotituiscono queste ultime due ricavate nella seconda e si fanno i conti;
Un altro sistema potrebbe essere quello di generalizzare questo metodo:
$\frac{1}{N^{k+1}}\sum_{n=0}^{N}n^{k}=\sum_{n=0}^{N}( \frac{n}{N}) ^{k}\frac{1}{N}$
Da un parte si ha
$\lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{1}{N^{k+1}}\sum_{n=0}^{N}n^{k}=c_{k+1}^{k}$
dall'altra
$\lim_{N\rightarrow +\infty }\sum_{n=0}^{N}( \frac{n}{N}) ^{k}\frac{1}{N}=\int_{0}^{1}x^{k}dx=\frac{1}{k+1}$
Quindi: $c_{k+1}^{k}=\frac{1}{k+1}$.
Oppure trovare una funzione di variabile reale $f$ tale che $f(N)=sum_{n=0}^{N}n^{k}$. In questo modo $f^{(n)}(0)=c_n^k$.
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