Sommatoria...

[elgiovo]

Volevo sottoporvi un quesito già venuto fuori nella sezione "Università", perchè credo che sia più giusto e più interessante metterlo qui.
Calcolare $lim_(n rightarrow oo)(1/sqrt(n^2+1^2)+1/sqrt(n^2+2^2)+ldots+1/sqrt(n^2+n^2))$.

[40rob]

Da

$lim_(n rightarrow oo) sum_(i=1)^n 1/sqrt(n^2 + i ^ 2)$

mettendo $n^2$ in evidenza otteniamo

$lim_(n rightarrow oo) sum_(i=1)^n (1/n) * 1/sqrt(1 + (i / n) ^ 2)$

se riusciamo a calcolare una funzione più generale che per valori particolari ci dia questa sommatoria, risolviamo il problema. Se introduciamo una x definendo

$S(x) = lim_(n rightarrow oo) sum_(i=1)^n (x/n) * 1/sqrt(1 + ((x / n) * i) ^ 2)$

abbiamo che S(1) è uguale proprio alla sommatoria iniziale, e siccome

$S(x) = int 1/sqrt(1 + x ^ 2) dx$

una volta risolto l'integrale ed individuata la funzione, basta valutarlo, come già detto, in $x = 1$ per ottenere il risultato desiderato cioé $S(1)$.

$int 1/sqrt(1 + x) ^ 2 dx = ln(sqrt(x^2 + 1) + x)$,

quindi la somma è uguale a $ln(sqrt(1^2 + 1) + 1) = ln(sqrt(2) + 1)$.

Non so se l'argomento sia proprio corretto, mi sembra di avere applicato soltanto una certa definizione di integrale, però forse la funzione $S(x)$ non potevo introdurla senza assicurarmi che rispettasse certi vincoli.
Ditemi voi cosa ne pensate.