Somma prodotti delle cifre non nulle
Sia $p(n)$ il prodotto delle cifre non nulle della rappresentazione decimale di $n$, quindi $p(13)=1 \cdot 3$ e $p(9071)=9 \cdot 7 \cdot 1$.
Fissato $n in NN$ calcolare
$p(1)+p(2)+p(3)+...+p(10^n-1)$
Fissato $n in NN$ calcolare
$p(1)+p(2)+p(3)+...+p(10^n-1)$
Risposte
Io ho trovato come risultato $49*50^(n-1)$
"luca.barletta":
Io ho trovato come risultato $49*50^(n-1)$
Meglio postare una dimostrazione però, almeno togli ogni dubbio, ok?
Ma almeno il risultato è giusto? se no perdo tempo per nulla
"luca.barletta":
Ma almeno il risultato è giusto? se no perdo tempo per nulla
Prendiamo $n=1$ abbiamo
$p(1)+p(2)+p(3)+...+p(9)=49 \cdot 50^(1-1)=49$
$1+2+3+...+9=49$
$45=49$
no, è errato
Sì, scusa sono cretino, la somma dei primi 9 numeri fa 45 e non 49, l'ho scritto pure giusto su carta, dunque ho $45*46^(n-1)$
"luca.barletta":
Sì, scusa sono cretino, la somma dei primi 9 numeri fa 45 e non 49, l'ho scritto pure giusto su carta, dunque ho $45*46^(n-1)$
Sarà... ma un risultato è di scarso interesse senza dimostrazione, del resto non vorrei postarla io e a te costa troppo scriverla, sarà un lavoro per qualcun altro...
La sol. fornita in precedenza non è corretta.
Denoto con $S_n$ la somma cercata. Per $n=1$ la soluzione è banale:
$S_1=sum_(i=1)^9 i=9*10/2=45$
Per $n=2$ dobbiamo calcolare:
$S_1+p(10)+...+p(19)+p(20)+...+p(29)+p(30)+...+p(99)=$
$=2S_1+1*S_1+2*S_1+...+9*S_1=S_1*(2+S_1)=S_2$
Per $n=3$ dobbiamo calcolare:
$S_2+p(100)+...+p(199)+p(200)+...+p(299)+p(300)+...+p(999)=$
$=S_2+S_1+1*S_2+2*S_2+...+9*S_2=S_1+S_2*(1+S_1)=S_1+S_1*(1+S_1)^2=S_1*(1+(1+S_1)^2)=S_3$
In generale avremo:
$S_n=S_1+S_(n-1)*(1+S_1)$
Denoto con $S_n$ la somma cercata. Per $n=1$ la soluzione è banale:
$S_1=sum_(i=1)^9 i=9*10/2=45$
Per $n=2$ dobbiamo calcolare:
$S_1+p(10)+...+p(19)+p(20)+...+p(29)+p(30)+...+p(99)=$
$=2S_1+1*S_1+2*S_1+...+9*S_1=S_1*(2+S_1)=S_2$
Per $n=3$ dobbiamo calcolare:
$S_2+p(100)+...+p(199)+p(200)+...+p(299)+p(300)+...+p(999)=$
$=S_2+S_1+1*S_2+2*S_2+...+9*S_2=S_1+S_2*(1+S_1)=S_1+S_1*(1+S_1)^2=S_1*(1+(1+S_1)^2)=S_3$
In generale avremo:
$S_n=S_1+S_(n-1)*(1+S_1)$
Iniziamo a calcolare $sum_(n=1)^9 p(n)$. Viene chiaramente $45$ in quanto corrisponde alla somma dei primi $n$ numeri naturali con $n=9$, calcolabili tramite la formula $[n(n+1)]/2$ (la cui dimostrazione si può trovare da qualche parte in questo forum).
Per $sum_(n=10)^19 p(n)$ vale lo stesso discorso di prima, con l'aggiunta di $1$ infatti sia $p(10)$, sia $p(11)$ sono uguali a $1$. Quindi $sum_(n=10)^19 p(n)=9*5+1=46$.
-Per $1Allora $sum_(n=1)^(10^2-1) p(n)=45+46(9*5)=45(1+46)=45*47$ perchè risulterebbe la somma di $45+46+2*(46)+3*(46)+4*(46)+5*(46)+6*(46)+7*(46)+8*(46)+9*(46)=45+((9*10)/2)*46$
-Per $10
. Quindi $sum_(n=1)^(10^3-1) p(n)=[45+46*45]46=45*46(1+46)=45*46*47$ perchè risulterebbe la somma di $(45*47)+1*(45*47)+2*(45*47)+3*(45*47)+4*(45*47)+5*(45*47)+6*(45*47)+7*(45*47)+8*(45*47)+9*(45*47)=((9*10)/2+1)(45*47)=45*46*47$
-Supponiamo quindi che [size=134]$sum_(n=1)^(10^q-1) p(n)=45*46^(q-2)*47$ con $q in NN>=2$[/size]. Per $q=2$ o $q=3$ risulta corretto. Proviamo per $q+1$. $sum_(n=1)^(10^(q+1)-1) p(n)=45*46^(q-1)*47$ che si può scrivere come $sum_(n=1)^(10*10^q-1) p(n)=46*45*46^(q-1)*47$. Ma $sum_(n=1)^(10*10^q-1)$ comporta gli stessi numeri di $sum_(n=1)^(10^q-1)$ più $1sum_(n=1)^(10^q-1)+2sum_(n=1)^(10^q-1)+3sum_(n=1)^(10^q-1)+4sum_(n=1)^(10^q-1)+5sum_(n=1)^(10^q-1)+6sum_(n=1)^(10^q-1)+7sum_(n=1)^(10^q-1)+8sum_(n=1)^(10^q-1)+9sum_(n=1)^(10^q-1)$ quindi risulta uguale a $46sum_(n=1)^(10^q-1)=45*46^(q-2)*47$.
Sicuramente è un induzione un po' forzata, accolgo perciò ben volentieri suggerimenti
Per $sum_(n=10)^19 p(n)$ vale lo stesso discorso di prima, con l'aggiunta di $1$ infatti sia $p(10)$, sia $p(11)$ sono uguali a $1$. Quindi $sum_(n=10)^19 p(n)=9*5+1=46$.
-Per $1
-Per $10
. Quindi $sum_(n=1)^(10^3-1) p(n)=[45+46*45]46=45*46(1+46)=45*46*47$ perchè risulterebbe la somma di $(45*47)+1*(45*47)+2*(45*47)+3*(45*47)+4*(45*47)+5*(45*47)+6*(45*47)+7*(45*47)+8*(45*47)+9*(45*47)=((9*10)/2+1)(45*47)=45*46*47$-Supponiamo quindi che [size=134]$sum_(n=1)^(10^q-1) p(n)=45*46^(q-2)*47$ con $q in NN>=2$[/size]. Per $q=2$ o $q=3$ risulta corretto. Proviamo per $q+1$. $sum_(n=1)^(10^(q+1)-1) p(n)=45*46^(q-1)*47$ che si può scrivere come $sum_(n=1)^(10*10^q-1) p(n)=46*45*46^(q-1)*47$. Ma $sum_(n=1)^(10*10^q-1)$ comporta gli stessi numeri di $sum_(n=1)^(10^q-1)$ più $1sum_(n=1)^(10^q-1)+2sum_(n=1)^(10^q-1)+3sum_(n=1)^(10^q-1)+4sum_(n=1)^(10^q-1)+5sum_(n=1)^(10^q-1)+6sum_(n=1)^(10^q-1)+7sum_(n=1)^(10^q-1)+8sum_(n=1)^(10^q-1)+9sum_(n=1)^(10^q-1)$ quindi risulta uguale a $46sum_(n=1)^(10^q-1)=45*46^(q-2)*47$.
Sicuramente è un induzione un po' forzata, accolgo perciò ben volentieri suggerimenti
"luca.barletta":
La sol. fornita in precedenza non è corretta.
Denoto con $S_n$ la somma cercata. Per $n=1$ la soluzione è banale:
...
In generale avremo:
$S_n=S_1+S_(n-1)*(1+S_1)$
Adesso risultato è corretto, anche se il metodo risolutivo è alquanto oscuro... sarebbe meglio dire
[size=59]sum_(n=1)^(10^q-1) p(n) = sum_(n=1)^9 p(n) + sum_(n=1)^(10^(q-1)-1)p(10n) + sum_(n=1)^(10^(q-1)-1) sum_(k=1)^9 p(10n+k)
sum_(n=1)^(10^q-1) p(n) = 45 + sum_(n=1)^(10^(q-1)-1)p(n) + sum_(n=1)^(10^(q-1)-1) sum_(k=1)^9 kp(n)
sum_(n=1)^(10^q-1) p(n) = 45 + sum_(n=1)^(10^(q-1)-1)p(n) + 45sum_(n=1)^(10^(q-1)-1) p(n)
S_q=45+46S_(q-1)[/size]
la soluzione di Aethelmyth la guardo più tardi perchè è un pò lunghetta
"carlo23":
il metodo risolutivo è alquanto oscuro
in quale parte ti pare oscuro?
"luca.barletta":
[quote="carlo23"] il metodo risolutivo è alquanto oscuro
in quale parte ti pare oscuro?[/quote]
L'induzione deve mostrare che vera la proprietà per $n$ è vera la proprietà per $n+1$. Tu hai mostrato i casi $n=2$ e $n=3$ dando un idea sul caso generale, si capisce che ragionamento hai fatto e che questo è corretto ma nel complesso non è quello il modo per esprimerlo.
Sì, la mia intenzione non era dimostrare per intero il risultato, ma quantomeno dare una giustificazione. E' poi evidente che si può dimostrare per induzione.
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