Somma dei primi n interi positivi
Trovare tutte le coppie di interi positivi $n,m$ tali che: $1+2+3+...+n=m^2$
Buon lavoro
Buon lavoro
Risposte
Unica soluzione $(1,1)$ poichè:
$1+2+3+...+n = (n*(n+1))/2$
Se $n$ pari, allora:
$m=n/2=n+1 Rightarrow n=-2$
Se $n$ dispari, allora:
$m=n=(n+1)/2 Rightarrow n=m=1$
$1+2+3+...+n = (n*(n+1))/2$
Se $n$ pari, allora:
$m=n/2=n+1 Rightarrow n=-2$
Se $n$ dispari, allora:
$m=n=(n+1)/2 Rightarrow n=m=1$
sei sicuro che posti esercizi cosi facili?
e $1+2+...+8$ come lo spieghi?
e $1+2+...+8$ come lo spieghi?
"Lord K":
Unica soluzione $(1,1)$ poichè:
$1+2+3+...+n = (n*(n+1))/2$
Se $n$ pari, allora:
$m=n/2=n+1 Rightarrow n=-2$
Se $n$ dispari, allora:
$m=n=(n+1)/2 Rightarrow n=m=1$
Questo varrebbe solo se $m$ fosse primo... posto i primi $n$ che verificano se qualcuno si vuole avventurare:
Sei Gatto dell'oliforum?
Devo trovare tutti i numeri della forma
n(n+1) / 2 (formula per calcolare i primi n interi) che sono quadrati perfetti trovando così m
dato che divido per 2, n(n+1) deve risultare (dopo la scomposizione) il prodotto di un 2 a fattore dispari per uno o più termini con esponente pari
per primo trovo n=1 m=1
poi trovo n=8 (2^3), m=6 (2x3)
poi trovo n=49 (7^2), m=35 (7X5)
forse si ottengono moltiplicando fra loro due numeri primi consecutivi (2,3) (5,7) (11,13)
provo
m=143 (11X13) n=???? NO
mah...
n(n+1) / 2 (formula per calcolare i primi n interi) che sono quadrati perfetti trovando così m
dato che divido per 2, n(n+1) deve risultare (dopo la scomposizione) il prodotto di un 2 a fattore dispari per uno o più termini con esponente pari
per primo trovo n=1 m=1
poi trovo n=8 (2^3), m=6 (2x3)
poi trovo n=49 (7^2), m=35 (7X5)
forse si ottengono moltiplicando fra loro due numeri primi consecutivi (2,3) (5,7) (11,13)
provo
m=143 (11X13) n=???? NO
mah...
"bboypa":
Sei Gatto dell'oliforum?
Oui... te chi sei lì?
jordan, hai presente?..
wow vedo che sei moderatore qui, ce ne hai perso di tempo a quanto pare
wow vedo che sei moderatore qui, ce ne hai perso di tempo a quanto pare
Non so perchè ma immaginavo fossi te 
Per il resto sinceramente non pensavo esistesse un forum italiano così frequentato sulla matematica, dove poterne discutere liberamente ed essere aiutati senza obblighi... la mia passione per la matematica e un amico moderatore hanno continuato a farmi frequentare molto il forum
Per il resto sinceramente non pensavo esistesse un forum italiano così frequentato sulla matematica, dove poterne discutere liberamente ed essere aiutati senza obblighi... la mia passione per la matematica e un amico moderatore hanno continuato a farmi frequentare molto il forum
si sarà solo un'impressione mia ma l'oliforum mi sembra parecchio piu "impegnativo"..da cosa hai capito che fossi io? (comunque non partecipi piu molto, almeno alla sezione olimpica pare..)
(comunque non partecipi piu molto, almeno alla sezione olimpica pare..)
Riprendo!
Allora il problema è equivalente a chiedere che:
$(n*(n+1))/2 = m^2$
ovvero:
$n^2+n-2m^2=0$
Da cui:
$n=-1+-sqrt(1+8m^2)$
Consideriamo allora che $n in NN$ se e solo se $1+8m^2=y^2$, allora mi occupo della risoluzione dell'equazione (di Pell) del tipo:
$y^2-8m^2=1$
la soluzione banale è $(y,m)=(3,1)$ da cui $n=1$ (ed anche $n=-2$ ma non accettabile). Usandolo come generatore delle soluzioni, sapendo che se $(a,b)$ sono soluzioni, allora:
$(b^2+8a^2,2ab)$
è ancora soluzione dell'equazione di Pell, infatti:
$(b^2+8a^2)^2-8*(2ab) = (b^2-8a^2)^2$
In generale ho che se due soluzioni $(a,b)$ e $(c,d)$ sono tali che:
$b^2-8a^2=1$
$d^2-8c^2=1$
allora anche:
$(bc-ad)^2-8(bd-nac)^2 = (b^2-8a^2)*(d^2-8c^2)=1$
allora nel nostro caso:
$(y_0,m_0)=(3,1) Rightarrow (y_1,m_1)=(17,6) Rightarrow (y_2,m_2)=(577,204)$
Da $y_1=17$ ottengo $(n,m)=(8,6)$, da $y_2=577$ ottengo $(n,m)=(288,204)$ etc... etc...
Per ora non trovo il modo per trovare $(49,35)$ ma ci lavoro ancora un pochetto, magari mi è sfuggita.
Allora il problema è equivalente a chiedere che:
$(n*(n+1))/2 = m^2$
ovvero:
$n^2+n-2m^2=0$
Da cui:
$n=-1+-sqrt(1+8m^2)$
Consideriamo allora che $n in NN$ se e solo se $1+8m^2=y^2$, allora mi occupo della risoluzione dell'equazione (di Pell) del tipo:
$y^2-8m^2=1$
la soluzione banale è $(y,m)=(3,1)$ da cui $n=1$ (ed anche $n=-2$ ma non accettabile). Usandolo come generatore delle soluzioni, sapendo che se $(a,b)$ sono soluzioni, allora:
$(b^2+8a^2,2ab)$
è ancora soluzione dell'equazione di Pell, infatti:
$(b^2+8a^2)^2-8*(2ab) = (b^2-8a^2)^2$
In generale ho che se due soluzioni $(a,b)$ e $(c,d)$ sono tali che:
$b^2-8a^2=1$
$d^2-8c^2=1$
allora anche:
$(bc-ad)^2-8(bd-nac)^2 = (b^2-8a^2)*(d^2-8c^2)=1$
allora nel nostro caso:
$(y_0,m_0)=(3,1) Rightarrow (y_1,m_1)=(17,6) Rightarrow (y_2,m_2)=(577,204)$
Da $y_1=17$ ottengo $(n,m)=(8,6)$, da $y_2=577$ ottengo $(n,m)=(288,204)$ etc... etc...
Per ora non trovo il modo per trovare $(49,35)$ ma ci lavoro ancora un pochetto, magari mi è sfuggita.
Se segui quanto detto sopra li trovi facilmente!
Il mio ragionamento è tutt'altro che risolutivo, ma ha prodotto un certo numero di coppie, che possono essere utili ad altri. Eccolo:
Posto $m=pq$, poiché $n$ ed $n+1$ sono primi fra loro, devono essere divisibili l'uno per $p^2$ e l'altro per $q^2$; inoltre quello pari deve contenere il fattore 2. Si hanno quindi due casi:
Caso n = dispari
Si ha $n=p^2$ e $n+1 =2q^2$, con p dispari; ne ricavo $q=\sqrt((p^2+1)/2)$. Con l'aiuto del computer do a p tutti i valori dispari e considero validi quelli per cui q è intero. Le soluzioni (con p <1600) sono le seguenti coppie (p,q): (1,1), (7,5), (41,29), (239,169), (1393, 985). Interessante notare che tutti questi valori di q sono la somma di due quadrati e che il quadrato maggiore formante una q è anche il minore della q successiva; in assenza di dimostrazioni potrebbe però essere un caso.
Caso n = pari
Si ha $n+1=p^2$ e $n=2q^2$, con p dispari; ne ricavo $q=\sqrt((p^2-1)/2)$. Lavorando come sopra ottengo le coppie (3,2), (17,12), (99,70), (577, 408). Non noto regolarità.
Lascio agli interessati il facile calcolo di n, m: ottenete tutte le coppie con n<2.500.000
Posto $m=pq$, poiché $n$ ed $n+1$ sono primi fra loro, devono essere divisibili l'uno per $p^2$ e l'altro per $q^2$; inoltre quello pari deve contenere il fattore 2. Si hanno quindi due casi:
Caso n = dispari
Si ha $n=p^2$ e $n+1 =2q^2$, con p dispari; ne ricavo $q=\sqrt((p^2+1)/2)$. Con l'aiuto del computer do a p tutti i valori dispari e considero validi quelli per cui q è intero. Le soluzioni (con p <1600) sono le seguenti coppie (p,q): (1,1), (7,5), (41,29), (239,169), (1393, 985). Interessante notare che tutti questi valori di q sono la somma di due quadrati e che il quadrato maggiore formante una q è anche il minore della q successiva; in assenza di dimostrazioni potrebbe però essere un caso.
Caso n = pari
Si ha $n+1=p^2$ e $n=2q^2$, con p dispari; ne ricavo $q=\sqrt((p^2-1)/2)$. Lavorando come sopra ottengo le coppie (3,2), (17,12), (99,70), (577, 408). Non noto regolarità.
Lascio agli interessati il facile calcolo di n, m: ottenete tutte le coppie con n<2.500.000
Partendo dall'osservazione prima fatta nel caso di n dispari, ho percorso un lungo cammino; ve lo risparmio perché, una volta ottenuta la formula finale, ho visto che ci si poteva arrivare molto più rapidamente per altra strada. Partiamo dai valori di m trovati (per gli ultimi ricordate che m=pq) e scriviamoli ordinatamente, senza distinguere a seconda della parità di n; otteniamo come successione degli $m_h$ (h=1,2,...) i numeri
1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, ….
Esaminandoli notiamo la formula di ricorrenza $m_(h+2)=6m_(h+1)-m_h$; per avere m in funzione di h poniamo allora $m_h=x^h$ ottenendo l'equazione $x^2-6x+1=0$ le cui soluzioni sono $x_(1,2)=3 \pm 2 \sqrt 2$. Posto poi $m_h=ax_1^h+bx_2^h$ impostiamo i valori relativi ad h=1 e h=2 ottenendo alla fine $m_h=\frac 1 (4 \sqrt 2)[(3+2 \sqrt 2)^h-(3-2 \sqrt 2)^h]$. L'equazione $n^2+n-2m^2=0$ fornisce allora valori interi per n, garantendo che la soluzione data è sufficiente. Altro discorso è dimostrare che è anche necessaria, e questo non saprei proprio farlo.
Mi scuso per non aver tenuto nessun conto della risposta di Lord K; suppongo sia validissima, ma mi è incomprensibile perché non conosco la teoria di cui parla.
1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, ….
Esaminandoli notiamo la formula di ricorrenza $m_(h+2)=6m_(h+1)-m_h$; per avere m in funzione di h poniamo allora $m_h=x^h$ ottenendo l'equazione $x^2-6x+1=0$ le cui soluzioni sono $x_(1,2)=3 \pm 2 \sqrt 2$. Posto poi $m_h=ax_1^h+bx_2^h$ impostiamo i valori relativi ad h=1 e h=2 ottenendo alla fine $m_h=\frac 1 (4 \sqrt 2)[(3+2 \sqrt 2)^h-(3-2 \sqrt 2)^h]$. L'equazione $n^2+n-2m^2=0$ fornisce allora valori interi per n, garantendo che la soluzione data è sufficiente. Altro discorso è dimostrare che è anche necessaria, e questo non saprei proprio farlo.
Mi scuso per non aver tenuto nessun conto della risposta di Lord K; suppongo sia validissima, ma mi è incomprensibile perché non conosco la teoria di cui parla.
"giammaria":
Esaminandoli notiamo la formula di ricorrenza $m_(h+2)=6m_(h+1)-m_h$
Ottimo...
"giammaria":
Il mio ragionamento è tutt'altro che risolutivo, ma ha prodotto un certo numero di coppie, che possono essere utili ad altri. Eccolo:
Posto $m=pq$, poiché $n$ ed $n+1$ sono primi fra loro, devono essere divisibili l'uno per $p^2$ e l'altro per $q^2$; inoltre quello pari deve contenere il fattore 2. Si hanno quindi due casi:
Caso n = dispari
Si ha $n=p^2$ e $n+1 =2q^2$, con p dispari; ne ricavo $q=\sqrt((p^2+1)/2)$. Con l'aiuto del computer do a p tutti i valori dispari e considero validi quelli per cui q è intero. Le soluzioni (con p <1600) sono le seguenti coppie (p,q): (1,1), (7,5), (41,29), (239,169), (1393, 985). Interessante notare che tutti questi valori di q sono la somma di due quadrati e che il quadrato maggiore formante una q è anche il minore della q successiva; in assenza di dimostrazioni potrebbe però essere un caso.
Caso n = pari
Si ha $n+1=p^2$ e $n=2q^2$, con p dispari; ne ricavo $q=\sqrt((p^2-1)/2)$. Lavorando come sopra ottengo le coppie (3,2), (17,12), (99,70), (577, 408). Non noto regolarità.
Lascio agli interessati il facile calcolo di n, m: ottenete tutte le coppie con n<2.500.000
Diciamo che in maniera molto più matematica e meno algoritmica è il modo che ho seguito sopra per trovare le soluzioni.
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