(somma cifre multiplo $n$) = $n$
Fissata una base $b>1$ dimostrare che per ogni $n$ primo con $b$ esiste un multiplo di $n$ tale che la somma delle cifre della sua rappresentazione $b$-male sia $n$.
Trq
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Risposte
"carlo23":
Fissata una base $b>1$ dimostrare che per ogni $n$ primo con $b$ esiste un multiplo di $n$ tale che la somma delle cifre della sua rappresentazione $b$-male sia $n$.
Trq
cos'è una rappresentazione $b$-male?
"fu^2":
cos'è una rappresentazione $b$-male?
Una rappresentazione in base $b$. Se $b=10$ sarà deci-male se $b=12$ dodeci-male... in realtà l'italiano è una lingua ricca di eccezioni per cui se $b=2$ sarà una rappresentazione binaria e non bi-male...
Sia $S_c(n)$ la somma delle cifre di n. E' noto che
$n-=S_c(n) mod (b-1)$. Quindi $mn-=S_c(mn) mod (b-1)$.
Dato che per ipotesi si ha $S_c(mn)=n => mn-=n mod (b-1) =>$
$m-=1 mod (b-1)$. Dunque basta porre $m=k(b-1)+1$, per un opportuno k.
In realtà questo è vero se $(n,b-1)=1$, quindi non capisco perché $n$ deve essere primo con $b$..
$n-=S_c(n) mod (b-1)$. Quindi $mn-=S_c(mn) mod (b-1)$.
Dato che per ipotesi si ha $S_c(mn)=n => mn-=n mod (b-1) =>$
$m-=1 mod (b-1)$. Dunque basta porre $m=k(b-1)+1$, per un opportuno k.
In realtà questo è vero se $(n,b-1)=1$, quindi non capisco perché $n$ deve essere primo con $b$..
"Crook":
Dato che per ipotesi si ha $S_c(mn)=n$
Non ti seguo, se per ipotesi si ha quell'uguaglianza allora è tutto belle che risolto...
Cosa rappresenta mod?
"ganpyixt":
Cosa rappresenta mod?
Okay che siamo tutti qui per imparare... però babbo Google a volte è molto più rapido ed efficiente.
Se scrivo $a -= b mod n$ significa che $a-b$ è divisibile per $n$.
Magari con le parentesi prima di $mod$ sarebbe stato più chiaro 
$a-=b(mod n)$
$a-=b(mod n)$
Io ho dimostrato che è possibile trovare un $m$, tale che $S_c(mn)=S_c(n(k(b-1)+1))=n$, partendo dall'ipotesi. Non penso sia una dimostrazione dell'esistenza di $m$, ma solo come trovarlo..
"Crook":
Io ho dimostrato che è possibile trovare un $m$, tale che $S_c(mn)=S_c(n(k(b-1)+1))=n$, partendo dall'ipotesi. Non penso sia una dimostrazione dell'esistenza di $m$, ma solo come trovarlo..
Non ci capiamo, esattamente: di quale ipotesi parli?
L'ipotesi che $S_c(mn)=n$. Io l'ho inserita nella congruenza e ho trovato il modo di calcolare $m$.
"Crook":
L'ipotesi che $S_c(mn)=n$. Io l'ho inserita nella congruenza e ho trovato il modo di calcolare $m$.
Okay, come pensavo, la tua soluzione non è accettabile. Dimostri l'esistenza di qualcosa supponendo la sua esistenza...
Sì, infatti, non è una soluzione, ma solo una deduzione..
Much ado about nothing... Siano g il minimo intero positivo tale che $b^g = 1 mod n$ ed $n_b := 1 + b^g + ... + b^{(n-1)g}$. Banalmente $n_b = 0 mod n$ e la somma delle cifre b-esimali di $n_b$ è pari ad n.
Buon Natale,
Salvatore Tringali
Buon Natale,
Salvatore Tringali
"DavidHilbert":
Much ado about nothing... Siano g il minimo intero positivo tale che $b^g = 1 mod n$ ed $n_b := 1 + b^g + ... + b^{(n-1)g}$. Banalmente $n_b = 0 mod n$ e la somma delle cifre b-esimali di $n_b$ è pari ad n.
Buon Natale,
Salvatore Tringali
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